ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) данное уравнение не имеет корней?

\(
25^x + 5^{x+1} — a^2 + a + 6 = 0
\)

Дано уравнение:
\(25^x + 5^{x+1} — a^2 + a + 6 = 0;\)
\(5^{2x} + 5 \cdot 5^x — (a^2 — a — 6) = 0;\)

\(D = 5^2 + 4(a^2 — a — 6);\)
\(D = 25 + 4a^2 — 4a — 24;\)
\(D = 4a^2 — 4a + 1 = (2a — 1)^2,\) тогда:

\(
5^x_1 = \frac{-5 — (2a — 1)}{2} = \frac{-2a — 4}{2} = -a — 2;
\)
\(
5^x_2 = \frac{-5 + (2a — 1)}{2} = \frac{2a — 6}{2} = a — 3.
\)

Не имеет корней:
\(-a — 2 \leq 0,\) \(a — 3 \leq 0;\)
\(a \geq -2,\) \(a \leq 3;\)

Ответ: \([-2; 3]\).

дано уравнение:
\(25^x + 5^{x+1} — a^2 + a + 6 = 0\)

выполним замену \(t = 5^x\), где \(t > 0\). тогда уравнение примет вид:
\(t^2 + 5t — (a^2 — a — 6) = 0\).

это квадратное уравнение относительно \(t\). найдем его дискриминант:
\(D = 5^2 + 4(a^2 — a — 6)\).

раскроем скобки:
\(D = 25 + 4a^2 — 4a — 24\).

приведем подобные слагаемые:
\(D = 4a^2 — 4a + 1\).

заметим, что \(D\) является полным квадратом:
\(D = (2a — 1)^2\).

так как \(D \geq 0\) при любом значении \(a\), уравнение имеет два корня. найдем их:
\(t_1 = \frac{-5 — (2a — 1)}{2} = \frac{-2a — 4}{2} = -a — 2\),
\(t_2 = \frac{-5 + (2a — 1)}{2} = \frac{2a — 6}{2} = a — 3\).

поскольку \(t = 5^x > 0\), необходимо, чтобы оба корня удовлетворяли этому условию. рассмотрим каждый из них:
1. первый корень \(t_1 = -a — 2\) должен быть положительным:
\(-a — 2 > 0 — a < -2\).
2. второй корень \(t_2 = a — 3\) должен быть положительным:
\(a — 3 > 0 — a > 3\).

уравнение не имеет корней, если оба условия выполняются одновременно:
\(-a — 2 \leq 0\), \(a — 3 \leq 0\).

объединим эти неравенства:
\(a \geq -2\), \(a \leq 3\).

ответ: \([-2; 3]\).