ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ уравнение } 4^x — (a + 1) \cdot 2^x + 2a — 2 = 0
\)
\(
\text{ имеет два различных корня?}
\)

Дано уравнение:
\(4^x — (a+1) \cdot 2^x + 2a — 2 = 0;\)
\(2^{2x} — (a+1) \cdot 2^x + (2a — 2) = 0;\)

\(D = (a+1)^2 — 4(2a — 2);\)
\(D = a^2 + 2a + 1 — 8a + 8;\)
\(D = a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2,\) тогда:

\(
2^x_1 = \frac{(a+1) — (a-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2;
\)
\(
2^x_2 = \frac{(a+1) + (a-3)}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1.
\)

Имеет два корня:
\(a-1 > 0,\) \(a-3 \neq 0;\)
\(a > 1,\) \(a \neq 3;\)

Ответ: \((1; 3) \cup (3; +\infty).\)

Дано уравнение:

\(
4^x — (a+1) \cdot 2^x + 2a — 2 = 0
\)

Представим \(4^x\) как \((2^x)^2\), тогда уравнение примет вид:

\(
(2^x)^2 — (a+1) \cdot 2^x + (2a — 2) = 0
\)

Обозначим \(t = 2^x\), где \(t > 0\). Уравнение становится квадратным относительно \(t\):

\(
t^2 — (a+1) \cdot t + (2a — 2) = 0
\)

Дискриминант квадратного уравнения равен:

\(
D = ((a+1))^2 — 4 \cdot 1 \cdot (2a — 2)
\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(
D = (a+1)^2 — 4(2a — 2)
\)
\(
D = a^2 + 2a + 1 — 8a + 8
\)
\(
D = a^2 — 6a + 9
\)

Заметим, что \(D\) является полным квадратом:

\(
D = (a — 3)^2
\)

Так как дискриминант является полным квадратом, уравнение имеет два равных корня (с совпадающими значениями дискриминанта). Найдем корни уравнения по формуле:

\(
t_1 = \frac{(a+1) — \sqrt{D}}{2} = \frac{(a+1) — (a-3)}{2}
\)
\(
t_1 = \frac{4}{2} = 2
\)

\(
t_2 = \frac{(a+1) + \sqrt{D}}{2} = \frac{(a+1) + (a-3)}{2}
\)
\(
t_2 = \frac{2a — 2}{2} = a-1
\)

Таким образом, \(t_1 = 2\) и \(t_2 = a-1\). Вернемся к замене \(t = 2^x\), тогда:

\(
2^x_1 = 2, \quad 2^x_2 = a-1
\)

Теперь рассмотрим условия существования корней. Так как \(2^x > 0\), оба корня должны быть положительными. Для первого корня \(2^x_1 = 2\) это условие всегда выполняется. Для второго корня \(2^x_2 = a-1\) необходимо:

\(
a-1 > 0
\)
\(
a > 1
\)

Кроме того, поскольку \(a-1\) не может быть равно первому корню \(2^x_1 = 2\), должно выполняться:

\(
a-1 \neq 2
\)
\(
a \neq 3
\)

Итак, объединяя условия, получаем:

\(
a > 1, \quad a \neq 3
\)

Ответ:

\(
(1; 3) \cup (3; +\infty)
\)