ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 2^x = 3 — x; \\
2) & \quad 3^x + 4^x = 5^x; \\
3) & \quad 7^{6 — x} = x + 2; \\
4) & \quad 3^{x — 1} + 5^{x — 1} = 34.
\end{align*}
\)

Решить уравнение:

1) \(2^x = 3 — x\);
\(y = 2^x\) — возрастает;
\(g = 3 — x\) — убывает;
\(2^1 = 2, \, 3 — 1 = 2\);
Ответ: 1.

2) \(3^x + 4^x = 5^x\);
\(
\left(\frac{3}{5}\right)^x + \left(\frac{4}{5}\right)^x = 1;
\)
\(
y = \left(\frac{3}{5}\right)^x \, \text{— убывает}; \, y = \left(\frac{4}{5}\right)^x \, \text{— убывает};
\)
\(
g = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9 + 16}{25} = 1;
\)
Ответ: 2.

3) \(7^{6-x} = x + 2\);
\(y = 7^{6-x}\) — убывает;
\(g = x + 2\) — возрастает;
\(7^{6-5} = 7, \, 5 + 2 = 7\);
Ответ: 5.

4) \(3^{x-1} + 5^{x-1} = 34\);
\(y = 3^{x-1}\) — возрастает;
\(g = 5^{x-1}\) — возрастает;
\(3^{3-1} + 5^{3-1} = 9 + 25 = 34\);
Ответ: 3.

Решить уравнение:

1) \(2^x = 3 — x\)
Функция \(y = 2^x\) является возрастающей, так как экспоненциальная функция \(2^x\) увеличивается с ростом \(x\).
Функция \(g = 3 — x\) является убывающей, так как линейная функция \(3 — x\) уменьшается с ростом \(x\).
Для проверки подставляем \(x = 1\):
\(
2^1 = 2, \quad 3 — 1 = 2
\)
Таким образом, \(x = 1\) является решением уравнения.
Ответ: 1.

2) \(3^x + 4^x = 5^x\)
Разделим обе части уравнения на \(5^x\):
\(
\left(\frac{3}{5}\right)^x + \left(\frac{4}{5}\right)^x = 1
\)
Рассмотрим функции:
Функция \(y = \left(\frac{3}{5}\right)^x\) убывает, так как основание дроби \(\frac{3}{5} < 1\).
Функция \(y = \left(\frac{4}{5}\right)^x\) также убывает, так как основание дроби \(\frac{4}{5} < 1\).
Подставим \(x = 2\):
\(
g = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1
\)
Таким образом, \(x = 2\) является решением уравнения.
Ответ: 2.

3) \(7^{6-x} = x + 2\)
Функция \(y = 7^{6-x}\) убывает, так как экспоненциальная функция \(7^{6-x}\) уменьшается с ростом \(x\).
Функция \(g = x + 2\) возрастает, так как линейная функция \(x + 2\) увеличивается с ростом \(x\).
Для проверки подставляем \(x = 5\):
\(
7^{6-5} = 7, \quad 5 + 2 = 7
\)
Таким образом, \(x = 5\) является решением уравнения.
Ответ: 5.

4) \(3^{x-1} + 5^{x-1} = 34\)
Функция \(y = 3^{x-1}\) возрастает, так как экспоненциальная функция \(3^{x-1}\) увеличивается с ростом \(x\).
Функция \(g = 5^{x-1}\) также возрастает, так как экспоненциальная функция \(5^{x-1}\) увеличивается с ростом \(x\).
Для проверки подставляем \(x = 3\):
\(
3^{3-1} + 5^{3-1} = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34
\)
Таким образом, \(x = 3\) является решением уравнения.
Ответ: 3.