ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 3^x = 11 — x; \\
2) & \quad 8^{5-x} = x + 4; \\
3) & \quad 4^{(x-2)} + 6^{(x-3)} = 100; \\
4) & \quad 3^{(x-2)} = \frac{9}{x}.
\end{align*}
\)

1) \(3^x = 11 — x\);
\(y = 3^x\) — возрастает;
\(g = 11 — x\) — убывает;
\(3^2 = 9, \quad 11 — 2 = 9\);
Ответ: 2.

2) \(8^{5-x} = x + 4\);
\(y = 8^{5-x}\) — убывает;
\(g = x + 4\) — возрастает;
\(8^{5-4} = 8, \quad 4 + 4 = 8\);
Ответ: 4.

3) \(4^{x-2} + 6^{x-3} = 100\);
\(y = 4^{x-2}\) — возрастает;
\(g = 6^{x-3}\) — возрастает;
\(4^3 + 6^2 = 64 + 36 = 100\);
Ответ: 5.

4) \(3^{x-2} = \frac{9}{x}\);
\(y = 3^{x-2}\) — возрастает;
\(g = \frac{9}{x}, \quad x > 0\) — убывает;
\(3^{3-2} = 3, \quad \frac{9}{3} = 3\);
Ответ: 3.

1) \(3^x = 11 — x\)
Рассмотрим функцию \(y = 3^x\). Она является возрастающей, так как экспоненциальная функция \(3^x\) увеличивается с ростом \(x\).
Функция \(g = 11 — x\) является убывающей, так как линейная функция \(11 — x\) уменьшается с ростом \(x\).
Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение имеет единственное решение.
Подставим \(x = 2\):
\(3^2 = 9, \quad 11 — 2 = 9\).
Уравнение выполняется, следовательно, \(x = 2\) является решением.
Ответ: \(2\).

2) \(8^{5-x} = x + 4\)
Рассмотрим функцию \(y = 8^{5-x}\). Она является убывающей, так как экспоненциальная функция \(8^{5-x}\) уменьшается с ростом \(x\).
Функция \(g = x + 4\) является возрастающей, так как линейная функция \(x + 4\) увеличивается с ростом \(x\).
Так как одна функция убывает, а другая возрастает, уравнение имеет единственное решение.
Подставим \(x = 4\):
\(8^{5-4} = 8, \quad 4 + 4 = 8\).
Уравнение выполняется, следовательно, \(x = 4\) является решением.
Ответ: \(4\).

3) \(4^{x-2} + 6^{x-3} = 100\)
Рассмотрим функцию \(y = 4^{x-2}\). Она является возрастающей, так как экспоненциальная функция \(4^{x-2}\) увеличивается с ростом \(x\).
Функция \(g = 6^{x-3}\) также является возрастающей, так как экспоненциальная функция \(6^{x-3}\) увеличивается с ростом \(x\).
Подставим \(x = 5\):
\(4^{5-2} = 4^3 = 64, \quad 6^{5-3} = 6^2 = 36\).
Сложим результаты: \(64 + 36 = 100\).
Уравнение выполняется, следовательно, \(x = 5\) является решением.
Ответ: \(5\).

4) \(3^{x-2} = \frac{9}{x}\)
Рассмотрим функцию \(y = 3^{x-2}\). Она является возрастающей, так как экспоненциальная функция \(3^{x-2}\) увеличивается с ростом \(x\).
Функция \(g = \frac{9}{x}\) является убывающей при \(x > 0\), так как дробь \(\frac{9}{x}\) уменьшается с ростом \(x\).
Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение имеет единственное решение.
Подставим \(x = 3\):
\(3^{3-2} = 3, \quad \frac{9}{3} = 3\).
Уравнение выполняется, следовательно, \(x = 3\) является решением.
Ответ: \(3\).