ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ уравнение } (vx — a)(2^{2x} — 10 \cdot 2^x + 16) = 0
\)
\(
\text{ имеет два различных корня?}
\)

Дано уравнение:
\((\sqrt{x} — a)(2^{2x} — 10 \cdot 2^x + 16) = 0;\)

\(D = 10^2 — 4 \cdot 16 = 100 — 64 = 36,\) тогда:
\(
2^{x_1} = \frac{10 — 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad 2^{x_2} = \frac{10 + 6}{2} = 8;
\)
\(\sqrt{x} — a = 0, \quad \sqrt{x} = a, \quad x = a^2;\)
\(x_1 = 1, \quad x_2 = 3;\)

Имеет два корня:
\(a^2 = 0, \quad a = 1;\)
\(a^2 = 3, \quad a = \pm \sqrt{3};\)
\(a < 0;\)

Ответ:
\((- \infty; 0) \cup [1; \sqrt{3}).\)

Дано уравнение:
\((\sqrt{x} — a)(2^{2x} — 10 \cdot 2^x + 16) = 0\).

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1. Второй множитель:
\((2^{2x} — 10 \cdot 2^x + 16 = 0)\).
Введем замену \(y = 2^x\). Тогда уравнение принимает вид:
\((y^2 — 10y + 16 = 0)\).
Найдём дискриминант:
\(D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36\).
Корни квадратного уравнения:
\(
y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 — 6}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 6}{2} = 8.
\)
Возвращаясь к переменной \(x\), получаем:
\(
2^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1, \quad 2^x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 3.
\)

2. Первый множитель:
\((\sqrt{x} — a = 0)\).
Решим это уравнение:
\((\sqrt{x} = a)\), откуда
\((x = a^2)\).

Объединяя оба множителя, уравнение имеет два корня:
\(x_1 = 1, \quad x_2 = 3\).

Теперь рассмотрим условия на параметр \(a\):
\((x = a^2)\) даёт следующие значения:
\(
a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 1,
\)
\(
a^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad a = \pm \sqrt{3}.
\)

Учитывая условие \(a < 0\), оставляем только отрицательные значения параметра:
\(
a = -1 \quad \text{и} \quad a = -\sqrt{3}.
\)

Таким образом, \(a\) принимает значения из интервала \((-\infty; 0)\).

Ответ:
\((-\infty; 0) \cup [1; \sqrt{3}).\)