ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
4^x — (19 — 3x) \cdot 2^x + 34 — 6x = 0.
\)

\(
4^x — (19 — 3x) \cdot 2^x + 34 — 6x = 0;
\)
\(
2^{2x} — (19 — 3x) \cdot 2^x + (34 — 6x) = 0;
\)
\(
D = (19 — 3x)^2 — 4(34 — 6x);
\)
\(
D = 361 — 114x + 9x^2 — 136 + 24x;
\)
\(
D = 9x^2 — 90x + 225 = (3x — 15)^2,
\)
тогда:
\(
2^{2x}_1 = \frac{(19 — 3x) — (3x — 15)}{2} = \frac{34 — 6x}{2} = 17 — 3x;
\)
\(
2^{2x}_2 = \frac{(19 — 3x) + (3x — 15)}{2} = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = 1;
\)

Первое значение:
\(
2^x = 17 — 3x;
\)
\(y = 2^x\) — возрастает;
\(17 — 3x\) — убывает;
\(
2^3 = 8, \quad 17 — 3 \cdot 3 = 8;
\)

Ответ: \(1; 3.\)

решим уравнение:

\(
4^x — (19 — 3x) \cdot 2^x + 34 — 6x = 0
\)

заменим \(4^x\) на \((2^x)^2\), получим:

\(
(2^x)^2 — (19 — 3x) \cdot 2^x + (34 — 6x) = 0
\)

обозначим \(2^x = y\), тогда уравнение примет вид:

\(
y^2 — (19 — 3x) \cdot y + (34 — 6x) = 0
\)

это квадратное уравнение относительно \(y\). найдем дискриминант:

\(
D = (19 — 3x)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (34 — 6x)
\)

распишем дискриминант:

\(
D = (19 — 3x)^2 — 4(34 — 6x)
\)

раскроем скобки:

\(
D = 361 — 114x + 9x^2 — 136 + 24x
\)

приведем подобные:

\(
D = 9x^2 — 90x + 225
\)

заметим, что выражение можно свернуть:

\(
D = (3x — 15)^2
\)

тогда корни квадратного уравнения относительно \(y\) находятся по формуле:

\(
y_1 = \frac{(19 — 3x) — (3x — 15)}{2} = \frac{34 — 6x}{2} = 17 — 3x
\)

\(
y_2 = \frac{(19 — 3x) + (3x — 15)}{2} = \frac{4}{2} = 2
\)

для второго корня \(y_2 = 2\):

\(
2^x = 2, \quad x = 1
\)

для первого корня \(y_1 = 17 — 3x\):

\(
2^x = 17 — 3x
\)

заметим, что функция \(2^x\) возрастает, а функция \(17 — 3x\) убывает. следовательно, уравнение \(2^x = 17 — 3x\) может иметь не более одного решения. методом подбора проверим \(x = 3\):

\(
2^3 = 8, \quad 17 — 3 \cdot 3 = 8
\)

получается, что \(x = 3\) является решением.

итоговые значения \(x\): \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\).

ответ: \(1; 3\)