ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
9^x — (14 — x) \cdot 3^x + 33 — 3x = 0
\)

Решить уравнение:
\(9^x — (14 — x) \cdot 3^x + 33 — 3x = 0;\)
\(3^{2x} — (14 — x) \cdot 3^x + (33 — 3x) = 0;\)
\(D = (14 — x)^2 — 4(33 — 3x);\)
\(D = 196 — 28x + x^2 — 132 + 12x;\)
\(D = x^2 — 16x + 64 = (x — 8)^2,\) тогда:
\(
3^{2x}_1 = \frac{(14 — x) — (x — 8)}{2} = \frac{22 — 2x}{2} = 11 — x;
\)
\(
3^{2x}_2 = \frac{(14 — x) + (x — 8)}{2} = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = 1;
\)

Первое значение:
\(3^x = 11 — x;\)
\(y = 3^x\) — возрастает;
\(g = 11 — x\) — убывает;
\(3^2 = 9, \quad 11 — 2 = 9;\)

Ответ: \(1; 2.\)

Рассмотрим уравнение:

\(9^x — (14 — x) \cdot 3^x + 33 — 3x = 0.\)

Представим \(9^x\) как \((3^x)^2\), тогда уравнение примет вид:

\(3^{2x} — (14 — x) \cdot 3^x + (33 — 3x) = 0.\)

Это квадратное уравнение относительно \(3^x\). Обозначим \(3^x = t\), тогда уравнение станет:

\(t^2 — (14 — x) \cdot t + (33 — 3x) = 0.\)

Найдем дискриминант данного уравнения:

\(D = (14 — x)^2 — 4 \cdot (33 — 3x).\)

Раскроем скобки и упростим выражение для \(D\):

\(D = 196 — 28x + x^2 — 132 + 12x.\)

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

\(D = x^2 — 16x + 64.\)

Заметим, что \(D\) является полным квадратом:

\(D = (x — 8)^2.\)

Поскольку дискриминант является квадратом, уравнение имеет два одинаковых корня. Найдем корни по формуле:

\(
t_1 = \frac{(14 — x) — \sqrt{D}}{2}, \quad t_2 = \frac{(14 — x) + \sqrt{D}}{2}.
\)

Подставим \(D = (x — 8)^2\):

\(
t_1 = \frac{(14 — x) — (x — 8)}{2}, \quad t_2 = \frac{(14 — x) + (x — 8)}{2}.
\)

Рассчитаем \(t_1\):

\(
t_1 = \frac{22 — 2x}{2} = 11 — x.
\)

Рассчитаем \(t_2\):

\(
t_2 = \frac{6}{2} = 3.
\)

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Для первого корня \(t_1 = 11 — x\), вернемся к замене \(t = 3^x\). Получаем уравнение:

\(
3^x = 11 — x.
\)

Функция \(y = 3^x\) является возрастающей, а функция \(g = 11 — x\) убывающей. Следовательно, они могут пересечься только в одной точке. Проверим \(x = 2\):

\(
3^2 = 9, \quad 11 — 2 = 9.
\)

Таким образом, \(x = 2\) является решением.

2. Для второго корня \(t_2 = 3\), вернемся к замене \(t = 3^x\). Получаем:

\(
3^x = 3.
\)

Отсюда \(x = 1\).

Итак, решения уравнения:

\(x = 1\) и \(x = 2.\)