ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
4^{\tan(x)} + 4^{\cot(x)} = 8
\)

Решить уравнение:
\(4 \cdot \tan x + 4 \cdot \cot x = 8;\)

1) Если \(\tan x \leq 0\), тогда:
\(4 \cdot \tan x \leq 1,\) \(4 \cdot \cot x \leq 1;\)
\(4 \cdot \tan x + 4 \cdot \cot x \leq 2;\)
\(x \in \emptyset;\)

2) Верно равенство:
\(\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{2}{\sin 2x};\)

3) Если \(\tan x > 0\), тогда:
\(4 \cdot \tan x + 4 \cdot \cot x \geq 2 \cdot \sqrt{4 \cdot \tan x \cdot 4 \cdot \cot x};\)
\(4 \cdot \tan x + 4 \cdot \cot x \geq 2 \cdot \sqrt{4 \cdot (\tan x + \cot x)} \geq 2 \cdot \sqrt{4^2};\)
\(4 \cdot \tan x + 4 \cdot \cot x \geq 8;\)

4) Все решения:
\(\sin 2x = 1;\)
\(2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\)

Ответ: \(\frac{\pi}{4} + \pi n.\)

Рассмотрим уравнение:

\(4 \cdot \tan(x) + 4 \cdot \cot(x) = 8.\)

1) Если \(\tan(x) \leq 0\), тогда:
\(
4 \cdot \tan(x) \leq 1, \quad 4 \cdot \cot(x) \leq 1.
\)
Сложим эти неравенства:
\(
4 \cdot \tan(x) + 4 \cdot \cot(x) \leq 2.
\)
Однако, в уравнении правая часть равна 8, а левая часть при \(\tan(x) \leq 0\) не может быть больше 2. Следовательно, решений при \(\tan(x) \leq 0\) нет:
\(
x \in \emptyset.
\)

2) Упростим выражение \(\tan(x) + \cot(x)\):
\(
\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)}.
\)
Так как \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), то:
\(
\tan(x) + \cot(x) = \frac{1}{\sin(x) \cdot \cos(x)}.
\)
Заметим, что \(\sin(x) \cdot \cos(x) = \frac{\sin(2x)}{2}\), поэтому:
\(
\tan(x) + \cot(x) = \frac{2}{\sin(2x)}.
\)

Подставим это равенство в исходное уравнение:
\(
4 \cdot \tan(x) + 4 \cdot \cot(x) = 4 \cdot \frac{2}{\sin(2x)} = \frac{8}{\sin(2x)}.
\)
Таким образом, уравнение принимает вид:
\(
\frac{8}{\sin(2x)} = 8.
\)

Решим его:
\(
\sin(2x) = 1.
\)

3) Найдем все решения уравнения \(\sin(2x) = 1\):
\(
2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)
Разделим обе части на 2:
\(
x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

4) Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)