ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
2^{\cos(x)} + 2^{\sin(x)} = 2^{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}
\)

Решить уравнение:
\(
2\cos x + 2\sin x = 2^{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}};
\)

1) Верно равенство:
\(
\cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right) =
\)
\(
= \sqrt{2} \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right);
\)

2) Верно неравенство:
\(
2\cos x + 2\sin x \geq 2\sqrt{2\cos x \cdot 2\sin x};
\)

\(
2\cos x + 2\sin x \geq 2\sqrt{2(\cos x + \sin x)} \geq 2\sqrt{2 — \sqrt{2}};
\)

\(
2\cos x + 2\sin x \geq 2^{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}};
\)

3) Решения равенства:
\(
\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = -1;
\)

\(
x — \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n;
\)

\(
x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.
\)

решить уравнение:
\(
2\cos x + 2\sin x = 2^{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}
\)

1) преобразуем левую часть уравнения. заметим, что:
\(
\cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right)
\)

распишем это выражение через формулу приведения:
\(
\cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right)
\)

по формуле суммы углов для косинуса:
\(
\cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)
\)

таким образом, уравнение можно переписать в виде:
\(
2\sqrt{2} \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 2^{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}
\)

2) рассмотрим неравенства. по свойству суммы синуса и косинуса, выполняется следующее:
\(
\cos x + \sin x \geq \sqrt{2\cos x \cdot \sin x}
\)

умножим обе части на 2:
\(
2\cos x + 2\sin x \geq 2\sqrt{2\cos x \cdot 2\sin x}
\)

зная, что \(\cos x + \sin x \leq \sqrt{2}\), получаем:
\(
2\cos x + 2\sin x \geq 2\sqrt{2(\cos x + \sin x)} \geq 2\sqrt{2 — \sqrt{2}}
\)

следовательно, выполняется:
\(
2\cos x + 2\sin x \geq 2^{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}
\)

3) теперь найдем решения равенства. для выполнения равенства требуется:
\(
\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = -1
\)

это возможно, если:
\(
x — \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n
\)

откуда:
\(
x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n
\)

ответ:
\(
x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n
\)