ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ уравнение } 2^{|x|} = ax^2 + a^2
\)
\(
\text{ имеет единственное решение?}
\)

Уравнение имеет одно решение:
\(
2|x| = ax^2 + a^2;
\)

1) Рассмотрим функцию:
\(
y = 2|x| — ax^2 — a^2;
\)

2) Функция является чётной:
\(
y(-x) = 2|-x| — a(-x)^2 — a^2;
\)
\(
y(-x) = 2|x| — ax^2 — a^2 = y(x);
\)

3) Если \(y(x) = 0\), то и \(y(-x) = 0\):
\(
y(0) = 2^0 — a \cdot 0^2 — a^2 = 0;
\)
\(
1 — a^2 = 0, \quad a^2 = 1, \quad a = \pm 1;
\)

4) Если \(a = 1\), тогда:
\(
2|x| = x^2 + 1;
\)
\(
2^1 = 2, \quad 1^2 + 1 = 2;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1;
\)

5) Если \(a = -1\), тогда:
\(
2|x| \leq x^2 + 1;
\)

Ответ:
\(-1\).

уравнение имеет одно решение:
\(
2|x| = ax^2 + a^2;
\)

1) рассмотрим функцию:
\(
y = 2|x| — ax^2 — a^2;
\)

2) функция является четной. проверим это:
\(
y(-x) = 2|-x| — a(-x)^2 — a^2;
\)
так как модуль числа не зависит от знака, то
\(
y(-x) = 2|x| — ax^2 — a^2;
\)
следовательно,
\(
y(-x) = y(x);
\)
функция является четной.

3) если \(
y(x) = 0
\), то и \(
y(-x) = 0
\). проверим значение функции при \(x = 0\):
\(
y(0) = 2|0| — a \cdot 0^2 — a^2;
\)
\(
y(0) = 0 — a^2;
\)
приравняем к нулю:
\(
0 — a^2 = 0;
\)
\(
a^2 = 1;
\)
отсюда
\(
a = \pm 1.
\)

4) если \(a = 1\), то уравнение примет вид:
\(
2|x| = x^2 + 1;
\)
при \(x = 0\):
\(
2|0| = 0^2 + 1;
\)
\(
0 = 1;
\)
это не решение.

при \(x = 1\):
\(
2|1| = 1^2 + 1;
\)
\(
2 = 2;
\)
это решение, \(x = 1\).

при отрицательных значениях \(x\), например \(x = -1\):
\(
2|-1| = (-1)^2 + 1;
\)
\(
2 = 2;
\)
это также решение, но оно совпадает с модулем \(x = 1\).

таким образом, если \(a = 1\), то единственное решение уравнения — \(x = 1\).

5) если \(a = -1\), то уравнение примет вид:
\(
2|x| = -x^2 + 1;
\)
при \(x = 0\):
\(
2|0| = -0^2 + 1;
\)
\(
0 = 1;
\)
это не решение.

при \(x = 1\):
\(
2|1| = -(1)^2 + 1;
\)
\(
2 = 0;
\)
это не решение.

при отрицательных значениях \(x\), например \(x = -1\):
\(
2|-1| = -(-1)^2 + 1;
\)
\(
2 = 0;
\)
это также не решение.

таким образом, если \(a = -1\), то уравнение не имеет решений.

ответ:
если \(a = -1\), то решений нет.