ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ уравнение } \left( \frac{1}{3} \right)^{|x|} = (a + \frac{1}{3}) x^2 + a^2
\)
\(
\text{ имеет единственное решение?}
\)

Уравнение имеет одно решение:
\(
\frac{1}{3}|x| = \left(a + \frac{1}{3}\right)x^2 + a^2;
\)

1) Рассмотрим функцию:
\(
y = \frac{1}{3}|x| — \left(a + \frac{1}{3}\right)x^2 — a^2;
\)

2) Функция является четной:
\(
y(-x) = \frac{1}{3}|-x| — \left(a + \frac{1}{3}\right)(-x)^2 — a^2;
\)
\(
y(-x) = \frac{1}{3}|x| — \left(a + \frac{1}{3}\right)x^2 — a^2 = y(x);
\)

3) Если \(y(x) = 0\), то и \(y(-x) = 0\):
\(
y(0) = \frac{1}{3}|0| — (a + \frac{1}{3}) \cdot 0^2 — a^2 = 0;
\)
\(
1 — a^2 = 0, \, a^2 = 1, \, a = \pm 1;
\)

4) Если \(a = 1\), тогда:
\(
\frac{1}{3}|x| = \frac{4}{3}x^2 + 1;
\)
\(
\frac{1}{3}|x| \leq 1, \, \frac{4}{3}x^2 + 1 \geq 1;
\)

5) Если \(a = -1\), тогда:
\(
\frac{1}{3}|x| = 1 — \frac{2}{3}x^2;
\)
\(
\frac{1}{3}|1| = 1 — \frac{2}{3} \cdot 1^2 = \frac{1}{3};
\)
\(
x_1 = 0, \, x_2 = 0;
\)

Ответ: 1.

Уравнение имеет одно решение:
\(
\frac{1}{3}|x| = \left(a + \frac{1}{3}\right)x^2 + a^2;
\)

1) Рассмотрим функцию:
\(
y = \frac{1}{3}|x| — \left(a + \frac{1}{3}\right)x^2 — a^2;
\)

2) Функция является четной:
\(
y(-x) = \frac{1}{3}|-x| — \left(a + \frac{1}{3}\right)(-x)^2 — a^2;
\)
\(
y(-x) = \frac{1}{3}|x| — \left(a + \frac{1}{3}\right)x^2 — a^2 = y(x);
\)
Таким образом, функция \(y(x)\) является четной, так как \(y(-x) = y(x)\).

3) Если \(y(x) = 0\), то и \(y(-x) = 0\):
Рассмотрим значение функции в точке \(x = 0\):
\(
y(0) = \frac{1}{3}|0| — \left(a + \frac{1}{3}\right) \cdot 0^2 — a^2 = 0;
\)
Это уравнение упрощается до:
\(
1 — a^2 = 0;
\)
Решая его, получаем:
\(
a^2 = 1;
\)
Следовательно:
\(
a = \pm 1;
\)

4) Если \(a = 1\), тогда:
Подставляем \(a = 1\) в исходное уравнение:
\(
\frac{1}{3}|x| = \frac{4}{3}x^2 + 1;
\)
Рассмотрим ограничения:
\(
\frac{1}{3}|x| \leq 1;
\)
и
\(
\frac{4}{3}x^2 + 1 \geq 1;
\)
Из первого условия следует, что абсолютное значение \(x\) ограничено:
\(
|x| \leq 3.
\)
Из второго условия видно, что правая часть уравнения всегда больше или равна единице.

5) Если \(a = -1\), тогда:
Подставляем \(a = -1\) в исходное уравнение:
\(
\frac{1}{3}|x| = 1 — \frac{2}{3}x^2;
\)
Рассмотрим значение функции при \(x = 1\):
\(
\frac{1}{3}|1| = 1 — \frac{2}{3} \cdot 1^2;
\)
Упрощая, получаем:
\(
\frac{1}{3} = \frac{1}{3};
\)
Таким образом, уравнение выполняется. Решения:
\(
x_1 = 0, \, x_2 = 0;
\)

Ответ: \(1\).