ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) уравнение имеет единственное решение?

\(
(3 — 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x = (3a + 1)|x| + 2a^2
\)

Уравнение имеет одно решение:
\((3 — 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x = (3a + 1)|x| + 2a^2;\)

1) Рассмотрим функцию:
\(y = (3 — 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x — (3a + 1)|x| — 2a^2;\)

2) Функция является четной:
\(y(-x) = (3 — 2\sqrt{2})^{-x} + (3 + 2\sqrt{2})^{-x} — (3a + 1)|-x| — 2a^2;\)
\(y(-x) = (3 + 2\sqrt{2})^x + (3 — 2\sqrt{2})^x — (3a + 1)|x| — 2a^2 = y(x);\)

3) Если \(y(x) = 0\), то и \(y(-x) = 0;\)
\(y(0) = (3 — 2\sqrt{2})^0 + (3 + 2\sqrt{2})^0 — (3a + 1) \cdot |0| — 2a^2 = 0;\)
\(1 + 1 — 2a^2 = 0,\)
\(2 = 2a^2,\)
\(a^2 = 1,\)
\(a = \pm 1;\)

4) Если \(a = 1,\) тогда:
\((3 — 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x = 4|x| + 2;\)
\((3 — 2\sqrt{2})^1 + (3 + 2\sqrt{2})^1 = 6;\)
\(4 \cdot |1| + 2 = 4 + 2 = 6;\)
\(x_1 = 0,\) \(x_2 = 1;\)

5) Если \(a = -1,\) тогда:
\((3 — 2\sqrt{2})^x + \left(\frac{1}{3 — 2\sqrt{2}}\right)^x = 2 — 2x;\)
\((3 — 2\sqrt{2})^0 + \left(\frac{1}{3 — 2\sqrt{2}}\right)^0 \geq 2;\)
\(2 — 2x \leq 2;\)

Ответ: \(-1.\)

уравнение имеет одно решение:
\((3 — 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x = (3a + 1)|x| + 2a^2\)

1) рассмотрим функцию:
\(y = (3 — 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x — (3a + 1)|x| — 2a^2\)

2) функция является четной:
\(y(-x) = (3 — 2\sqrt{2})^{-x} + (3 + 2\sqrt{2})^{-x} — (3a + 1)|-x| — 2a^2\)
учитывая свойства четности модулей и обратных степеней:
\((3 — 2\sqrt{2})^{-x} = (3 + 2\sqrt{2})^x\) и \((3 + 2\sqrt{2})^{-x} = (3 — 2\sqrt{2})^x\),
получаем:
\(y(-x) = (3 + 2\sqrt{2})^x + (3 — 2\sqrt{2})^x — (3a + 1)|x| — 2a^2 = y(x)\)
следовательно, функция \(y(x)\) является четной.

3) если \(y(x) = 0\), то и \(y(-x) = 0\).
рассмотрим значение функции при \(x = 0\):
\(y(0) = (3 — 2\sqrt{2})^0 + (3 + 2\sqrt{2})^0 — (3a + 1) \cdot |0| — 2a^2\)
упрощая, получаем:
\(y(0) = 1 + 1 — 2a^2 = 0\)
отсюда:
\(2 — 2a^2 = 0\)
решая уравнение, находим:
\(a^2 = 1\)
следовательно, \(a = \pm 1\)

4) если \(a = 1\), тогда:
подставляем \(a = 1\) в исходное уравнение:
\((3 — 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x = 4|x| + 2\)
проверим значение при \(x = 1\):
\((3 — 2\sqrt{2})^1 + (3 + 2\sqrt{2})^1 = 6\)
а правая часть:
\(4 \cdot |1| + 2 = 4 + 2 = 6\)
значения совпадают, следовательно, \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\).
но уравнение имеет только одно решение, поэтому \(a = 1\) не подходит.

5) если \(a = -1\), тогда:
подставляем \(a = -1\) в исходное уравнение:
\((3 — 2\sqrt{2})^x + \left(\frac{1}{3 — 2\sqrt{2}}\right)^x = 2 — 2x\)
проверим значение при \(x = 0\):
\((3 — 2\sqrt{2})^0 + \left(\frac{1}{3 — 2\sqrt{2}}\right)^0 = 1 + 1 = 2\)
левая часть равна правой.
проверим ограничение:
\((3 — 2\sqrt{2})^x + \left(\frac{1}{3 — 2\sqrt{2}}\right)^x \geq 2\)
отсюда:
\(2 — 2x \leq 2\)
решая, получаем:
\(x \geq 0\)
при \(x = 0\) и \(x > 0\) уравнение выполняется, но так как решение должно быть единственным, выбираем \(x = 0\).

ответ: \(-1\)