ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ уравнение }
\)
\(
(2+\sqrt{3})^x — (2-\sqrt{3})^x = 2(a-1)x^2 + \frac{1}{2}a^2
\)
\(
\text{ имеет единственное решение?}
\)

Уравнение имеет одно решение:
\(
(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 2(a-1)x^2 + \frac{1}{2}a^2;
\)

1) Рассмотрим функцию:
\(
y = (2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x — 2(a-1)x^2 — \frac{1}{2}a^2;
\)

2) Функция является четной:
\(
y(-x) = (2+\sqrt{3})^{-x} + (2-\sqrt{3})^{-x} — 2(a-1)(-x)^2 — \frac{1}{2}a^2;
\)
\(
y(-x) = (2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x — 2(a-1)x^2 — \frac{1}{2}a^2 = y(x);
\)

3) Если \(y(x) = 0\), то и \(y(-x) = 0\):
\(
y(0) = (2+\sqrt{3})^0 + (2-\sqrt{3})^0 — 2(a-1)\cdot 0^2 — \frac{1}{2}a^2 = 0;
\)
\(
1 + 1 = a^2, \quad 2 = a^2, \quad a^2 = 4, \quad a = \pm 2;
\)

4) Если \(a = 2\), тогда:
\(
(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 2x^2 + 2;
\)
\(
(2+\sqrt{3})^1 + (2-\sqrt{3})^1 = 4;
\)
\(
2 \cdot 1^2 + 2 = 2 + 2 = 4;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1;
\)

5) Если \(a = -2\), тогда:
\(
(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 2 — 6x^2;
\)
\(
(2+\sqrt{3})^1 + (2-\sqrt{3})^1 = 2;
\)
\(
2 — 6x^2 = 3 — 2;
\)

Ответ: \(a = -2.\)

Уравнение имеет одно решение:
\(
(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 2(a-1)x^2 + \frac{1}{2}a^2
\)

1) Рассмотрим функцию:
\(
y = (2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x — 2(a-1)x^2 — \frac{1}{2}a^2
\)

2) Функция является четной:
\(
y(-x) = (2+\sqrt{3})^{-x} + (2-\sqrt{3})^{-x} — 2(a-1)(-x)^2 — \frac{1}{2}a^2
\)
Так как \((-x)^2 = x^2\), то:
\(
y(-x) = (2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x — 2(a-1)x^2 — \frac{1}{2}a^2 = y(x)
\)

3) Если \(y(x) = 0\), то и \(y(-x) = 0\):
Подставим \(x = 0\):
\(
y(0) = (2+\sqrt{3})^0 + (2-\sqrt{3})^0 — 2(a-1)\cdot 0^2 — \frac{1}{2}a^2
\)
Так как \((2+\sqrt{3})^0 = 1\) и \((2-\sqrt{3})^0 = 1\), то:
\(
y(0) = 1 + 1 — 0 — \frac{1}{2}a^2 = 0
\)
Отсюда:
\(
1 + 1 = a^2, \quad 2 = a^2, \quad a^2 = 4, \quad a = \pm 2
\)

4) Если \(a = 2\), тогда:
Подставим \(a = 2\) в исходное уравнение:
\(
(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 2x^2 + 2
\)
Проверим, при каких значениях \(x\) выполняется это равенство.

Для \(x = 1\):
\(
(2+\sqrt{3})^1 + (2-\sqrt{3})^1 = 4
\)
С другой стороны:
\(
2 \cdot 1^2 + 2 = 4
\)
Следовательно, \(x_1 = 1\).

Для \(x = 0\):
\(
(2+\sqrt{3})^0 + (2-\sqrt{3})^0 = 1 + 1 = 2
\)
С другой стороны:
\(
2 \cdot 0^2 + 2 = 2
\)
Следовательно, \(x_0 = 0\).

Таким образом, \(x_1 = 0, \quad x_2 = 1\).

5) Если \(a = -2\), тогда:
Подставим \(a = -2\) в исходное уравнение:
\(
(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 2 — 6x^2
\)
Проверим, при каких значениях \(x\) выполняется это равенство.

Для \(x = 1\):
\(
(2+\sqrt{3})^1 + (2-\sqrt{3})^1 = 4
\)
С другой стороны:
\(
2 — 6 \cdot 1^2 = -4
\)
Такое значение не удовлетворяет уравнению.

Для других значений \(x\):
Уравнение становится противоречивым, следовательно, решение отсутствует.

Ответ: \(a = -2.\)