ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ уравнения }
\)
\(
4^{(x+1)} + 2^{(x+4)} = 2^{(x+2)} + 16 \text{ и } |a — 9| \cdot 3^{(x-2)} + a \cdot 9^{(x-1)} = 1
\)
\(
\text{ равносильны?}
\)

1) Первое уравнение:
\(
4^{x+1} + 2^{x+4} = 2^{x+2} + 16;
\)
\(
2^{2(x+1)} + 2^4 \cdot 2^x = 2^2 \cdot 2^x + 16;
\)
\(
2^2 \cdot 2^{2x} + 16 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x + 16;
\)
\(
4 \cdot 2^{2x} + 12 \cdot 2^x — 16 = 0;
\)
\(
2^{2x} + 3 \cdot 2^x — 4 = 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25;
\)
Корни:
\(
2^x = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad 2^x = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)
Решения:
\(
x_1 = -\infty, \quad x_2 = 0;
\)

2) Второе уравнение:
\(
|a — 9| \cdot 3^{x-2} + a \cdot 9^{x-1} = 1;
\)
Представим \(9^{x-1}\) как \((3^2)^{x-1}\):
\(
|a — 9| \cdot 3^{x-2} + a \cdot (3^2)^{x-1} = 1.
\)

Вот текст с заменой квадратных скобок на круглые:

\(
|a — 9| + a = 9; \quad |a — 9| = 9 — a; \quad a — 9 \leq 0; \quad a \leq 9;
\)

3) Имеет одно решение:
\(
|a — 9| \cdot 3^{x-2} + a \cdot 9^{x-1} = 1;
\)
\(
6 \cdot 3^{2x} + (9 — a) \cdot 5 — 3^{x-1} = 0;
\)
\(
a \cdot 3^{2x} + (9 — a) \cdot 3^x — 9 = 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = (9 — a)^2 + 4 \cdot a \cdot 9;
\)
\(
D = a^2 — 18a + 81 + 36a;
\)
\(
D = a^2 + 18a + 81 = (a + 9)^2;
\)
Тогда:
\(
-(9 — a) — (a + 9) = -18;
\)
Решения:
\(
2a = 0, \quad a = 0;
\)
Ответ:
\(
[0; 9] \cup \{-9\}.
\)

Даны уравнения:

\(
4^{x+1} + 2^{x+4} = 2^{x+2} + 16, \quad |a — 9| \cdot 3^{x-2} + a \cdot 9^{x-1} = 1;
\)

Рассмотрим первое уравнение:

\(
4^{x+1} + 2^{x+4} = 2^{x+2} + 16;
\)

Представим \(4^{x+1}\) как \(2^{2(x+1)}\):

\(
2^{2(x+1)} + 2^4 \cdot 2^x = 2^2 \cdot 2^x + 16;
\)

Раскроем скобки и упростим:

\(
2^2 \cdot 2^{2x} + 16 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x + 16;
\)

Перенесем все в одну часть уравнения:

\(
4 \cdot 2^{2x} + 12 \cdot 2^x — 16 = 0;
\)

Разделим на \(4\), чтобы упростить выражение:

\(
2^{2x} + 3 \cdot 2^x — 4 = 0;
\)

Это квадратное уравнение относительно \(2^x\). Найдем дискриминант:

\(
D = 3^2 + 4 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25;
\)

Найдем корни:

\(
2^x = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad 2^x = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)

Так как \(2^x > 0\), допустим только второй корень:

\(
2^x = 1 — x = 0;
\)

Решения первого уравнения:

\(
x_1 = -\infty, \quad x_2 = 0;
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
|a — 9| \cdot 3^{x-2} + a \cdot 9^{x-1} = 1;
\)

Представим \(9^{x-1}\) как \((3^2)^{x-1}\):

\(
|a — 9| \cdot 3^{x-2} + a \cdot (3^2)^{x-1} = 1;
\)

Рассмотрим случай, когда \(a — 9 \leq 0\), то есть \(a \leq 9\). Тогда:

\(
|a — 9| = -(a — 9);
\)

Подставим это в уравнение:

\(
-(a — 9) \cdot 3^{x-2} + a \cdot (3^2)^{x-1} = 1;
\)

Упростим выражение:

\(
(9 — a) \cdot 3^{x-2} + a \cdot (3^2)^{x-1} = 1;
\)

Рассмотрим дискриминант для этого уравнения:

\(
D = (9 — a)^2 + 4 \cdot a \cdot 9;
\)

Раскроем скобки и упростим:

\(
D = a^2 — 18a + 81 + 36a;
\)

Сгруппируем подобные члены:

\(
D = a^2 + 18a + 81;
\)

Заметим, что это полный квадрат:

\(
D = (a + 9)^2;
\)

Тогда корни совпадают, и решение существует при:

\(
-(9 — a) — (a + 9) = -18;
\)

Решения:

\(
2a = 0, \quad a = 0;
\)

Ответ:

\(
[0; 9] \cup \{-9\}.
\)