ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 5^{(x+1)} + 5^x = 150; \\
2) & \quad 2^x + 2^{(x-3)} = 18; \\
3) & \quad 7^{(x+2)} + 4 \cdot 7^{(x-1)} = 347; \\
4) & \quad 4^x — 3 \cdot 4^{(x-2)} = 52.
\end{align*}
\)

1) \(5^{x+1} + 5^x = 150;\)
\(5^x \cdot 5 + 5^x = 150;\)
\(5^x \cdot 6 = 150;\)
\(5^x = 25;\)
\(5^x = 5^2;\)
\(x = 2;\)
Ответ: \(2.\)

2) \(2^x + 2^{x-3} = 18;\)
\(2^x + 2^x \cdot 2^{-3} = 18;\)
\(2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 18;\)
\(2^x \cdot \frac{9}{8} = 18;\)
\(2^x = 16;\)
\(2^x = 2^4;\)
\(x = 4;\)
Ответ: \(4.\)

3) \(7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x-1} = 347;\)
\(7^x \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^x \cdot 7^{-1} = 347;\)
\(7^x \cdot \left(49 + \frac{4}{7}\right) = 347;\)
\(7^x \cdot \frac{347}{7} = 347;\)
\(7^x = 7;\)
\(x = 1;\)
Ответ: \(1.\)

4) \(4^x — 3 \cdot 4^{x-2} = 52;\)
\(4^x — 3 \cdot 4^x \cdot 4^{-2} = 52;\)
\(4^x \cdot \left(1 — \frac{3}{16}\right) = 52;\)
\(4^x \cdot \frac{13}{16} = 52;\)
\(4^x = 64;\)
\(4^x = 4^3;\)
\(x = 3;\)
Ответ: \(3.\)

1) \(5^{x+1} + 5^x = 150\)
Преобразуем выражение:
\(5^{x+1} = 5^x \cdot 5\), тогда:
\(5^x \cdot 5 + 5^x = 150\).
Вынесем \(5^x\) за скобки:
\(5^x \cdot (5 + 1) = 150\).
Упрощаем:
\(5^x \cdot 6 = 150\).
Разделим обе части уравнения на \(6\):
\(5^x = \frac{150}{6} = 25\).
Представим \(25\) как степень числа \(5\):
\(5^x = 5^2\).
Так как основания одинаковые, то:
\(x = 2\).
Ответ: \(2\).

2) \(2^x + 2^{x-3} = 18\)
Преобразуем выражение:
\(2^{x-3} = 2^x \cdot 2^{-3}\), тогда:
\(2^x + 2^x \cdot 2^{-3} = 18\).
Вынесем \(2^x\) за скобки:
\(2^x \cdot (1 + 2^{-3}) = 18\).
Вычислим \(2^{-3} = \frac{1}{8}\), тогда:
\(2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 18\).
Упрощаем выражение в скобках:
\(2^x \cdot \frac{9}{8} = 18\).
Разделим обе части уравнения на \(\frac{9}{8}\):
\(2^x = 18 \cdot \frac{8}{9} = 16\).
Представим \(16\) как степень числа \(2\):
\(2^x = 2^4\).
Так как основания одинаковые, то:
\(x = 4\).
Ответ: \(4\).

3) \(7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x-1} = 347\)
Преобразуем выражение:
\(7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2\), \(7^{x-1} = 7^x \cdot 7^{-1}\), тогда:
\(7^x \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^x \cdot 7^{-1} = 347\).
Вынесем \(7^x\) за скобки:
\(7^x \cdot \left(7^2 + 4 \cdot 7^{-1}\right) = 347\).
Вычислим выражение в скобках:
\(7^2 = 49\), \(7^{-1} = \frac{1}{7}\), тогда:
\(7^x \cdot \left(49 + \frac{4}{7}\right) = 347\).
Приведем к общему знаменателю:
\(7^x \cdot \frac{343 + 4}{7} = 347\).
Упрощаем:
\(7^x \cdot \frac{347}{7} = 347\).
Разделим обе части уравнения на \(347\):
\(7^x = 7\).
Представим \(7\) как степень числа \(7\):
\(7^x = 7^1\).
Так как основания одинаковые, то:
\(x = 1\).
Ответ: \(1\).

4) \(4^x — 3 \cdot 4^{x-2} = 52\)
Преобразуем выражение:
\(4^{x-2} = 4^x \cdot 4^{-2}\), тогда:
\(4^x — 3 \cdot 4^x \cdot 4^{-2} = 52\).
Вынесем \(4^x\) за скобки:
\(4^x \cdot \left(1 — 3 \cdot 4^{-2}\right) = 52\).
Вычислим \(4^{-2} = \frac{1}{16}\), тогда:
\(4^x \cdot \left(1 — 3 \cdot \frac{1}{16}\right) = 52\).
Упрощаем выражение в скобках:
\(4^x \cdot \left(1 — \frac{3}{16}\right) = 52\).
Приведем к общему знаменателю:
\(4^x \cdot \frac{16 — 3}{16} = 52\).
Упрощаем:
\(4^x \cdot \frac{13}{16} = 52\).
Разделим обе части уравнения на \(\frac{13}{16}\):
\(4^x = 52 \cdot \frac{16}{13} = 64\).
Представим \(64\) как степень числа \(4\):
\(4^x = 4^3\).
Так как основания одинаковые, то:
\(x = 3\).
Ответ: \(3\).