ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ уравнения }
\)
\(
3^x + 3^{x+3} = 3^{x+1} + 25 \text{ и } |a-4| \cdot 2^x + a \cdot 4^x = 4
\)
\(
\text{ равносильны?}
\)

Даны уравнения:

1. \( 3^x + 3^{x+3} = 3^{x+1} + 25 \)
2. \( |a — 4| \cdot 2^x + a \cdot 4^x = 4 \)

1) Первое уравнение:
\( 3^x + 3^{x+3} = 3^{x+1} + 25 \)
\( 3^x + 3^3 \cdot 3^x = 3 \cdot 3^x + 25 \)
\( 3^x \cdot (1 + 27 — 3) = 25 \)
\( 3^x \cdot 25 = 25 \)
\( 3^x = 1 \)
\( x = 0 \)

2) Второе уравнение:
\( |a — 4| \cdot 2^x + a \cdot 4^x = 4 \)
\( |a — 4| \cdot 2^0 + a \cdot 4^0 = 4 \)
\( |a — 4| + a = 4 \)

\(
|a — 4| = 4 — a
\)
\(
a — 4 \leq 0
\)
\(
a \leq 4
\)

Имеет одно решение:
\(
|a — 4| \cdot 2^x + a \cdot 4^x = 4
\)
\(
a \cdot 2^x + (4 — a) \cdot 2^x — 4 = 0
\)
\(
D = (4 — a)^2 + 4 \cdot a \cdot 4
\)
\(
D = a^2 — 8a + 16 + 16a
\)
\(
D = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2
\)

Тогда:
\(
2x_1 = \frac{-(4 — a) — (a + 4)}{2a}
\)
\(
2x_1 = \frac{-8}{2a} = \frac{-4}{a}
\)

Условие:
\(
\frac{4}{a} < 0, \, a + 4 = 0
\)
\(
a \geq 0, \, a = 4
\)

Ответ:
\(
[0; 4] \cup \{-4\}
\)

Рассмотрим оба уравнения подробно.

1) Первое уравнение:
\(
3^x + 3^{x+3} = 3^{x+1} + 25
\)
Применим свойства степеней:
\(
3^{x+3} = 3^3 \cdot 3^x
\)
Тогда уравнение перепишется:
\(
3^x + 3^3 \cdot 3^x = 3 \cdot 3^x + 25
\)
Вынесем \(3^x\) за скобки:
\(
3^x \cdot (1 + 27 — 3) = 25
\)
Упростим выражение в скобках:
\(
3^x \cdot 25 = 25
\)
Разделим обе части уравнения на 25:
\(
3^x = 1
\)
Поскольку \(3^x = 1\), то \(x = 0\).
Ответ для первого уравнения:
\(
x = 0
\)

2) Второе уравнение:
\(
|a — 4| \cdot 2^x + a \cdot 4^x = 4
\)
Подставим \(x = 0\) (так как \(2^0 = 1\) и \(4^0 = 1\)):
\(
|a — 4| \cdot 1 + a \cdot 1 = 4
\)
Упростим:
\(
|a — 4| + a = 4
\)
Рассмотрим случай, когда модуль раскрывается как \(4 — a\) (так как \(a \leq 4\)):
\(
|a — 4| = 4 — a
\)
Тогда уравнение становится:
\(
(4 — a) + a = 4
\)
Упростим:
\(
4 = 4
\)
Следовательно, условие \(a \leq 4\) выполняется.

Теперь проверим общий случай, когда уравнение имеет одно решение:
\(
|a — 4| \cdot 2^x + a \cdot 4^x = 4
\)
Раскроем модуль как \(4 — a\):
\(
a \cdot 2^x + (4 — a) \cdot 2^x — 4 = 0
\)
Вынесем \(2^x\) за скобки:
\(
2^x \cdot (a + 4 — a) — 4 = 0
\)
\(
2^x \cdot 4 — 4 = 0
\)
Разделим обе части уравнения на 4:
\(
2^x = 1
\)
Поскольку \(2^x = 1\), то \(x = 0\).

Теперь найдем дискриминант для случая общего решения:
\(
D = (4 — a)^2 + 4 \cdot a \cdot 4
\)
Раскроем скобки:
\(
D = a^2 — 8a + 16 + 16a
\)
Упростим:
\(
D = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2
\)
Дискриминант является квадратом, значит, решение уравнения единственное.

Найдем \(x_1\):
\(
2x_1 = \frac{-(4 — a) — (a + 4)}{2a}
\)
Упростим числитель:
\(
2x_1 = \frac{-8}{2a}
\)
\(
2x_1 = \frac{-4}{a}
\)

Условие:
\(
\frac{4}{a} < 0, \, a + 4 = 0
\)
Поскольку \(a \geq 0\), то \(a = 4\).

Ответ:
\(
[0; 4] \cup \{-4\}
\)