ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0; \\
2) & \quad 9^x — 6 \cdot 3^x — 27 = 0; \\
3) & \quad 25^x — 5^x — 20 = 0; \\
4) & \quad 100 \cdot 0.3^{2x} + 91 \cdot 0.3^x — 9 = 0.
\end{align*}
\)

1) \(2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0;\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,\) тогда:
\(2^{x_1} = \frac{6 — 2}{2} = 2,\) и \(2^{x_2} = \frac{6 + 2}{2} = 4;\)
\(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2;\)
Ответ: \(1;\ 2.\)

2) \(9^x — 6 \cdot 3^x — 27 = 0;\)
\(3^{2x} — 6 \cdot 3^x — 27 = 0;\)
\(D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144,\) тогда:
\(3^{x_1} = \frac{-6 — 12}{2} = -3,\) и \(3^{x_2} = \frac{-6 + 12}{2} = 9;\)
\(x_1\) не принадлежит области определения (так как \(3^x > 0\)), и \(x_2 = 2;\)
Ответ: \(2.\)

3) \(25^x — 5^x — 20 = 0;\)
\(5^{2x} — 5^x — 20 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,\) тогда:
\(5^{x_1} = \frac{1 — 9}{2} = -4,\) и \(5^{x_2} = \frac{1 + 9}{2} = 5;\)
\(x_1\) не принадлежит области определения (так как \(5^x > 0\)), и \(x_2 = 1;\)
Ответ: \(1.\)

4) \(100 \cdot 0,3^{2x} + 91 \cdot 0,3^x — 9 = 0;\)
\(D = 91^2 + 4 \cdot 100 \cdot (-9) = 8\ 281 + 3\ 600 = 11\ 881,\) тогда:
\(0,3^{x_1} = \frac{-91 — 109}{2 \cdot 100} = -1,\) и \(0,3^{x_2} = \frac{-91 + 109}{2 \cdot 100} = 0,09;\)
\(x_1\) не принадлежит области определения (так как \(0,3^x > 0\)), и \(x_2 = 2;\)
Ответ: \(2.\)

1) \(2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0\)
заменим \(2^x = t\), где \(t > 0\), тогда уравнение принимает вид:
\(t^2 — 6t + 8 = 0\)
найдем дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\)
найдем корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2\)
\(t_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4\)
вернемся к замене \(2^x = t\), тогда:
\(2^x = 2 — x = 1\)
\(2^x = 4 — x = 2\)
ответ: \(1; 2\)

2) \(9^x — 6 \cdot 3^x — 27 = 0\)
заменим \(3^x = t\), где \(t > 0\), тогда уравнение принимает вид:
\(t^2 — 6t — 27 = 0\)
найдем дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144\)
найдем корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 12}{2} = -3\)
\(t_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 12}{2} = 9\)
вернемся к замене \(3^x = t\), тогда:
\(3^x = -3\) (не имеет смысла, так как \(t > 0\))
\(3^x = 9 — x = 2\)
ответ: \(2\)

3) \(25^x — 5^x — 20 = 0\)
заменим \(5^x = t\), где \(t > 0\), тогда уравнение принимает вид:
\(t^2 — t — 20 = 0\)
найдем дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\)
найдем корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 9}{2} = -4\)
\(t_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5\)
вернемся к замене \(5^x = t\), тогда:
\(5^x = -4\) (не имеет смысла, так как \(t > 0\))
\(5^x = 5 — x = 1\)
ответ: \(1\)

4) \(100 \cdot 0,3^{2x} + 91 \cdot 0,3^x — 9 = 0\)
заменим \(0,3^x = t\), где \(t > 0\), тогда уравнение принимает вид:
\(100t^2 + 91t — 9 = 0\)
найдем дискриминант:
\(D = 91^2 — 4 \cdot 100 \cdot (-9) = 8281 + 3600 = 11881\)
найдем корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-91 — \sqrt{11881}}{2 \cdot 100} = \frac{-91 — 109}{200} = -1\)
\(t_2 = \frac{-91 + \sqrt{11881}}{2 \cdot 100} = \frac{-91 + 109}{200} = 0,09\)
вернемся к замене \(0,3^x = t\), тогда:
\(0,3^x = -1\) (не имеет смысла, так как \(t > 0\))
\(0,3^x = 0,09 — x = 2\)
ответ: \(2\)