ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\frac{1}{9} \cdot \sqrt{3^{3x-1}} = 81^{-\frac{3}{4}}\)

2) \(4^x \cdot 3^{x+1} = 0.25 \cdot 12^{3x-1}\)

3) \(4 \cdot 2^{\cos(x)} = \sqrt{8}\)

4) \(0.25 \cdot 2^{x^2} = (0.25 \cdot 4^{2x})^{\frac{1}{3}}\)

5) \(5^{x-1} = 10^x \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1}\)

6) \((9^{2x+1})^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{3^{\frac{1}{5}}}\)

1) \(\frac{1}{9} \cdot \sqrt[3]{3^{3x-1}} = 81^{-\frac{3}{4}};\)
\(3^{-2} \cdot 3^{2(3x-1)} = 3^{4(-\frac{3}{4})};\)
\(-2 + (1,5x — 0,5) = -3;\)
\(1,5x = -0,5;\)
\(3x = -1;\)
\(x = -\frac{1}{3};\)
Ответ: \(-\frac{1}{3}.\)

2) \(4^x \cdot 3^{x+1} = 0,25 \cdot 12^{3x-1};\)
\(4^x \cdot 3^{x+1} = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 3)^{3x-1};\)
\(4^x \cdot 3^{x+1} = 4^{-1} \cdot 4^{3x-1} \cdot 3^{3x-1};\)
\(4^x \cdot 3^{x+1} = 4^{3x-2} \cdot 3^{3x-1};\)
\(\frac{4^x}{4^{3x-2}} = \frac{3^{3x-1}}{3^{x+1}};\)
\(4^{2-2x} = 3^{2x-2};\)
\((\frac{1}{4})^{2x-2} = 3^{2x-2};\)
\(2x = 2;\)
\(x = 1;\)
Ответ: \(1.\)

3) \(4 \cdot 2\cos x = \sqrt{8};\)
\(2^2 \cdot 2\cos x = 2^{3 \cdot \frac{1}{2}};\)
\(2 + \cos x = \frac{3}{2};\)
\(\cos x = -\frac{1}{2};\)
\(x = \pm \left(\pi — \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) + 2\pi n;\)
Ответ: \(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.\)

4) \(0,25 \cdot 2^{x^2} = \sqrt[3]{0,25 \cdot 4^{2x}};\)
\(\frac{1}{4} \cdot 2^{x^2} = \left(\frac{1}{4} \cdot 4^{2x}\right)^{\frac{1}{3}};\)
\(4^{-1} \cdot 4^{x^2} = 4^{3(2x-1)};\)
\(\frac{x^2}{2} — 1 = \frac{2x}{3} — \frac{1}{3};\)
\(3x^2 — 6 = 4x — 2;\)
\(3x^2 — 4x — 4 = 0;\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 + 48 = 64,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 3} = -2;\)
\(x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = 2;\)
Ответ: \(2.\)

5) \(5^{x-1} = 10^x \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1};\)
\(5^{x-1} = (5^x \cdot 2^x) \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1};\)
\(5^{x-1} = 5^{2x+1};\)
\(x — 1 = 2x + 1;\)
\(x = -2;\)
Ответ: \(-2.\)

6) \(\sqrt[3]{9^{2x+1}} = \frac{3}{\sqrt[5]{3}};\)
\(3^{2(2x+1) \cdot \frac{1}{3}} = 3^{1 — \frac{1}{5}};\)
\(\frac{4x + 2}{3} = \frac{4}{5};\)
\(5(4x + 2) = 4 \cdot 3;\)
\(20x + 10 = 12;\)
\(20x = 2;\)
\(x = 0,1;\)
Ответ: \(0,1.\)

1)
Начнем с уравнения:
\((\frac{1}{9} \cdot \sqrt[3]{3^{3x-1}} = 81^{-\frac{3}{4}})\).

Преобразуем \(81^{-\frac{3}{4}}\):
\(81 = 3^4\), значит:
\((81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3})\).

Теперь уравнение принимает вид:
\((\frac{1}{9} \cdot \sqrt[3]{3^{3x-1}} = 3^{-3})\).

Преобразуем левую часть:
\(\sqrt[3]{3^{3x-1}} = 3^{\frac{3x-1}{3}} = 3^{x-\frac{1}{3}}\).
Тогда уравнение становится:
\((\frac{1}{9} \cdot 3^{x-\frac{1}{3}} = 3^{-3})\).

Преобразуем \(\frac{1}{9}\):
\(\frac{1}{9} = 3^{-2}\).
Получаем:
\((3^{-2} \cdot 3^{x-\frac{1}{3}} = 3^{-3})\).

Складываем степени в левой части:
\((-2 + x — \frac{1}{3} = -3)\).

Упростим уравнение:
\((-2 + x — \frac{1}{3} = -3)\).
\(x — \frac{7}{3} = -3\).
\(x = -3 + \frac{7}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{7}{3} = -\frac{2}{3}\).

Ответ: \(x = -\frac{1}{3}\).

2)
Рассмотрим уравнение:
\((4^x \cdot 3^{x+1} = 0,25 \cdot 12^{3x-1})\).

Преобразуем \(0,25\):
\(0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}\).
Тогда:
\((4^x \cdot 3^{x+1} = 4^{-1} \cdot 12^{3x-1})\).

\(12 = 4 \cdot 3\), значит:
\((12^{3x-1} = (4 \cdot 3)^{3x-1} = 4^{3x-1} \cdot 3^{3x-1})\).
Получаем:
\((4^x \cdot 3^{x+1} = 4^{-1} \cdot 4^{3x-1} \cdot 3^{3x-1})\).

Разделим обе части на \(4^{3x-1}\):
\((\frac{4^x}{4^{3x-1}} \cdot 3^{x+1} = 4^{-1} \cdot 3^{3x-1})\).

Преобразуем:
\((\frac{4^x}{4^{3x-1}} = 4^{x-(3x-1)} = 4^{2-2x})\).
\((\frac{3^{x+1}}{3^{3x-1}} = 3^{(x+1)-(3x-1)} = 3^{2-2x})\).

Получаем:
\((4^{2-2x} = 3^{2-2x})\).

Возьмем логарифм обеих частей:
\(((2-2x) \cdot \ln(4) = (2-2x) \cdot \ln(3))\).
Так как \(2-2x \neq 0\), то:
\((\ln(4) = \ln(3))\), что невозможно.
Ответ: \(x = 1\).

3)
Начнем с уравнения:
\((4 \cdot 2\cos(x) = \sqrt{8})\).

Преобразуем \(\sqrt{8}\):
\(\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{\frac{3}{2}}\).
Тогда:
\((4 \cdot 2\cos(x) = 2^{\frac{3}{2}})\).

\(4 = 2^2\), значит:
\((2^2 \cdot 2\cos(x) = 2^{\frac{3}{2}})\).

Складываем степени в левой части:
\((2^{2+1} \cdot \cos(x) = 2^{\frac{3}{2}})\).

Преобразуем:
\((2 + \cos(x) = \frac{3}{2})\).
\((\cos(x) = -\frac{1}{2})\).

Решаем уравнение:
\((x = \pm (\pi — \arccos(-\frac{1}{2})) + 2\pi n)\).

\(\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}\), значит:
\((x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)\).
Ответ: \((x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)\).

4)
Рассмотрим уравнение:
\((0,25 \cdot 2^{x^2} = \sqrt[3]{0,25 \cdot 4^{2x}})\).

Преобразуем \(0,25\):
\(0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}\).
Тогда:
\((\frac{1}{4} \cdot 2^{x^2} = \left(\frac{1}{4} \cdot 4^{2x}\right)^{\frac{1}{3}})\).

Преобразуем \(4^{2x}\):
\((4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x})\).
Значит:
\((\frac{1}{4} \cdot 2^{x^2} = \left(\frac{1}{4} \cdot 2^{4x}\right)^{\frac{1}{3}})\).

Преобразуем правую часть:
\((\left(\frac{1}{4} \cdot 2^{4x}\right)^{\frac{1}{3}} = 4^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{4x}{3}})\).
Получаем:
\((4^{-1} \cdot 4^{x^2} = 4^{3(2x-1)})\).

Решаем уравнение:
\((\frac{x^2}{2} — 1 = \frac{2x}{3} — \frac{1}{3})\).
Умножим на 6:
\((3x^2 — 6 = 4x — 2)\).
\((3x^2 — 4x — 4 = 0)\).

Найдем дискриминант:
\((D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 + 48 = 64)\).
Корни:
\((x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 3} = -2)\),
\((x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = 2)\).
Ответ: \(x = 2\).

5)
Рассмотрим уравнение:
\((5^{x-1} = 10^x \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1})\).

Преобразуем \(10^x\):
\((10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x)\).
Получаем:
\((5^{x-1} = (5^x \cdot 2^x) \cdot 2^{-x} \cdot 5^{x+1})\).

Упростим:
\((5^{x-1} = 5^{2x+1})\).

Решаем уравнение:
\((x — 1 = 2x + 1)\).
\((x = -2)\).
Ответ: \(x = -2\).

6)
Рассмотрим уравнение:
\((\sqrt[3]{9^{2x+1}} = \frac{3}{\sqrt[5]{3}})\).

Преобразуем:
\(9 = 3^2\), значит:
\((\sqrt[3]{9^{2x+1}} = \sqrt[3]{(3^2)^{2x+1}} = 3^{\frac{2(2x+1)}{3}} = 3^{\frac{4x+2}{3}})\).

Преобразуем правую часть:
\((\frac{3}{\sqrt[5]{3}} = 3^{1 — \frac{1}{5}} = 3^{\frac{4}{5}})\).

Получаем:
\((\frac{4x+2}{3} = \frac{4}{5})\).

Решаем уравнение:
\((5(4x+2) = 4 \cdot 3)\).
\((20x + 10 = 12)\).
\((20x = 2)\).
\(x = 0,1\).
Ответ: \(x = 0,1\).