Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
\(
\begin{align*}
1) & \quad \sqrt{\frac{32}{16^{x^2}}} = 8^{3x}; \\
2) & \quad 9 \cdot 3^{\sin(x)} = \sqrt{27}; \\
3) & \quad 2^{x-1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1}; \\
4) & \quad (7^{x+1})^{\frac{1}{5}} = \frac{49}{\sqrt{7}}.
\end{align*}
\)
1) \(\sqrt{32} \div 16x^2 = 8^{3x};\)
\(2^{5 \cdot \frac{1}{2}} \div 2^{4 \cdot x^2} = 2^{3 \cdot 3x};\)
\(5 — 4x^2 = 9x;\)
\(5 — 8x^2 = 18x;\)
\(8x^2 + 18x — 5 = 0;\)
\(D = 18^2 + 4 \cdot 8 \cdot 5 = 324 + 160 = 484,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-18 — 22}{2 \cdot 8} = -2,5\) и \(x_2 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = 0,25;\)
Ответ: \(-2,5; 0,25.\)
2) \(9 \cdot 3\sin x = \sqrt{27};\)
\(3^2 \cdot 3\sin x = 3^{3 \cdot \frac{1}{2}};\)
\(3^2 + \sin x = \frac{3}{2};\)
\(\sin x = -\frac{1}{2};\)
\(x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n;\)
Ответ: \((-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.\)
3) \(2^{x-1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1};\)
\(2^{x-1} = (4^{2x} \cdot 3^{2x}) \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1};\)
\(2^{x-1} = 2^{2 \cdot 2x} \cdot 2^{x+1};\)
\(x — 1 = 4x + (x + 1);\)
\(4x = -2;\)
\(x = -0,5;\)
Ответ: \(-0,5.\)
4) \(\sqrt[5]{7^{x+1}} = \frac{49}{\sqrt{7}};\)
\(7^{\frac{1}{5}(x+1)} = 7^{2} \cdot 7^{-\frac{1}{2}};\)
\(\frac{x+1}{5} + \frac{1}{2} = 2 — \frac{1}{2};\)
\(\frac{2x + 25}{20} = 5;\)
\(2x = 13;\)
\(x = 6,5;\)
Ответ: \(6,5.\)
1) Решим уравнение:
\(\sqrt{32} \div 16x^2 = 8^{3x}\)
Представим числа в виде степеней двойки:
\(\sqrt{32} = 2^{5 \cdot \frac{1}{2}} = 2^{2.5}\), \(16 = 2^4\), \(8 = 2^3\). Тогда уравнение примет вид:
\(\frac{2^{2.5}}{2^{4x^2}} = 2^{9x}\)
Применим свойства степеней:
\(\frac{2^{2.5}}{2^{4x^2}} = 2^{2.5 — 4x^2}\)
Таким образом, уравнение становится:
\(2^{2.5 — 4x^2} = 2^{9x}\)
Приравняем показатели степеней:
\(2.5 — 4x^2 = 9x\)
Перепишем уравнение:
\(5 — 8x^2 = 18x\)
Приведем его к стандартному виду:
\(8x^2 + 18x — 5 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 18^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-18 — \sqrt{484}}{2 \cdot 8} = \frac{-18 — 22}{16} = -2.5\)
\(x_2 = \frac{-18 + \sqrt{484}}{2 \cdot 8} = \frac{-18 + 22}{16} = 0.25\)
Ответ: \(-2.5; 0.25\)
2) Решим уравнение:
\(9 \cdot 3\sin x = \sqrt{27}\)
Представим числа в виде степеней тройки:
\(\sqrt{27} = 3^{3 \cdot \frac{1}{2}} = 3^{1.5}\), \(9 = 3^2\). Тогда уравнение примет вид:
\(3^2 \cdot 3\sin x = 3^{1.5}\)
Применим свойства степеней:
\(3^2 \cdot 3\sin x = 3^{2 + \sin x}\)
Таким образом, уравнение становится:
\(3^{2 + \sin x} = 3^{1.5}\)
Приравняем показатели степеней:
\(2 + \sin x = 1.5\)
Найдем \(\sin x\):
\(\sin x = -0.5\)
Решим тригонометрическое уравнение:
\(x = (-1)^{n+1} \arcsin(-0.5) + \pi n\)
\(\arcsin(-0.5) = -\frac{\pi}{6}\), тогда:
\(x = (-1)^{n+1} \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n\)
Упростим:
\(x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\)
Ответ: \(x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\)
3) Решим уравнение:
\(2^{x-1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1}\)
Представим числа в виде степеней двойки и тройки:
\(12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3\). Тогда уравнение примет вид:
\(2^{x-1} = (4^{2x} \cdot 3^{2x}) \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1}\)
Преобразуем:
\(4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x}\)
\(2^{x-1} = 2^{4x} \cdot 2^{x+1}\)
Применим свойства степеней:
\(2^{x-1} = 2^{4x + x + 1} = 2^{5x+1}\)
Приравняем показатели степеней:
\(x — 1 = 5x + 1\)
Решим уравнение:
\(x — 5x = 1 + 1\)
\(-4x = 2\)
\(x = -0.5\)
Ответ: \(x = -0.5\)
4) Решим уравнение:
\(\sqrt[5]{7^{x+1}} = \frac{49}{\sqrt{7}}\)
Представим числа в виде степеней семерки:
\(\sqrt[5]{7^{x+1}} = 7^{\frac{1}{5}(x+1)}\), \(49 = 7^2\), \(\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}\). Тогда уравнение примет вид:
\(7^{\frac{1}{5}(x+1)} = 7^2 \cdot 7^{-\frac{1}{2}}\)
Применим свойства степеней:
\(7^{\frac{1}{5}(x+1)} = 7^{2 — \frac{1}{2}} = 7^{1.5}\)
Приравняем показатели степеней:
\(\frac{x+1}{5} = 1.5\)
Решим уравнение:
\(x+1 = 5 \cdot 1.5\)
\(x+1 = 7.5\)
\(x = 6.5\)
Ответ: \(x = 6.5\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.