ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( 2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56 \)

2) \( 6 \cdot 5^x — 5^{x+1} — 3 \cdot 5^{x-1} = 10 \)

3) \( 2 \cdot 7^x + 7^{x+2} — 3 \cdot 7^{x-1} = 354 \)

4) \( 4^{x-2} — 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228 \)

5) \( 4 \cdot 9^{1.5x-1} — 27^{x-1} = 33 \)

6) \( 0.5^{5-2x} + 3 \cdot 0.25^{3-x} = 5 \)

7) \( 2^{2x+1} + 4^x — \left( \frac{1}{16} \right)^{1-0.5x} = 47 \)

8) \( 4 \cdot 3^x — 5 \cdot 3^{x-1} — 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 9^{x^2-1} \)

1) \(2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56;\)
\(2^x + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x \cdot 2^{-2} = 56;\)
\(2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 56;\)
\(2^x \cdot \frac{7}{4} = 56;\)
\(2^x = 32;\)
\(2^x = 2^5;\)
\(x = 5;\)
Ответ: \(5.\)

2) \(6 \cdot 5^x — 5^{x+1} — 3 \cdot 5^{x-1} = 10;\)
\(6 \cdot 5^x — 5^x \cdot 5 — 3 \cdot 5^x \cdot 5^{-1} = 10;\)
\(5^x \cdot \left(6 — 5 — \frac{3}{5}\right) = 10;\)
\(5^x \cdot \frac{2}{5} = 10;\)
\(5^x = 25;\)
\(5^x = 5^2;\)
\(x = 2;\)
Ответ: \(2.\)

3) \(2 \cdot 7^x + 7^{x+2} — 3 \cdot 7^{x-1} = 354;\)
\(2 \cdot 7^x + 7^x \cdot 7^2 — 3 \cdot 7^x \cdot 7^{-1} = 354;\)
\(7^x \cdot \left(2 + 49 — \frac{3}{7}\right) = 354;\)
\(7^x \cdot \frac{354}{7} = 354;\)
\(7^x = 7;\)
\(x = 1;\)
Ответ: \(1.\)

4) \(4^{x-2} — 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228;\)
\(4^x \cdot 4^{-2} — 3 \cdot 4^x \cdot 2^{-1} + 5 \cdot 4^x = 228;\)
\(4^x \cdot \left(\frac{1}{16} — \frac{3}{2} + 5\right) = 228;\)
\(4^x \cdot \frac{57}{16} = 228;\)
\(4^x = 64;\)
\(4^x = 4^3;\)
\(x = 3;\)
Ответ: \(3.\)

5) \(4 \cdot 9^{1,5x-1} — 27^{x-1} = 33;\)
\(4 \cdot 3^{2(1,5x-1)} — 3^{3(x-1)} = 33;\)
\(4 \cdot 3^{3x-2} — 3^{3x-3} = 33;\)
\(4 \cdot 3^{3x-2} — 3^{3x-2} \cdot 3^{-1} = 33;\)
\(3^{3x-2} \cdot \left(4 — \frac{1}{3}\right) = 33;\)
\(3^{3x-2} \cdot \frac{11}{3} = 33;\)
\(3^{3x-2} = 9;\)
\(3^{3x-2} = 3^2;\)
\(3x — 2 = 2;\)
\(3x = 4;\)
\(x = \frac{4}{3};\)
Ответ: \(\frac{4}{3}.\)

6) \(0,5^{5-2x} + 3 \cdot 0,25^{3-x} = 5;\)
\(0,5^{5-2x} + 3 \cdot 0,5^{2(3-x)} = 5;\)
\(0,5^{5-2x} + 3 \cdot 0,5^{6-2x} = 5;\)
\(0,5^{5-2x} + 3 \cdot 0,5^{5-2x} \cdot 0,5 = 5;\)
\(0,5^{5-2x} \cdot (1 + 1,5) = 5;\)
\(0,5^{5-2x} \cdot 2,5 = 5;\)
\(0,5^{5-2x} = 2;\)
\(0,5^{5-2x} = 0,5^{-1};\)
\(5 — 2x = -1;\)
\(2x = 6;\)
\(x = 3;\)
Ответ: \(3.\)

7) \(2^{2x+1} + 4^x — \left(16^{1-0,5x}\right) = 47;\)
\(2^{2x+1} + 2^{2x} — 2^{-4(1-0,5x)} = 47;\)
\(2^{2x} \cdot 2 + 2^{2x} — 2^{2x} \cdot 2^{-4} = 47;\)
\(2^{2x} \cdot \left(2 + 1 — \frac{1}{16}\right) = 47;\)
\(2^{2x} \cdot \frac{47}{16} = 47;\)
\(2^{2x} = 16;\)
\(2^{2x} = 2^4;\)
\(2x = 4;\)
\(x = 2;\)
Ответ: \(2.\)

8) \(4 \cdot 3^x — 5 \cdot 3^{x-1} — 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 9^{x^2-1};\)
\(4 \cdot 3^{x-2} \cdot 3^2 — 5 \cdot 3^{x-2} \cdot 3 — 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 3^{2(x^2-1)};\)
\(3^{x-2} \cdot (36 — 15 — 6) = 15 \cdot 3^{2x^2-2};\)
\(3^{x-2} \cdot 15 = 15 \cdot 3^{2x^2-2};\)
\(3^{x-2} = 3^{2x^2-2};\)
\(x — 2 = 2x^2 — 2;\)
\(x(2x-1) = 0;\)
\(x_1 = 0, \, x_2 = 0,5;\)
Ответ: \(0; \, 0,5.\)

1) \(2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56\)
Преобразуем выражение:
\(2^x + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x \cdot 2^{-2} = 56\)
Вынесем \(2^x\) за скобки:
\(2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 56\)
Сложим дроби:
\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}\)
Получаем:
\(2^x \cdot \frac{7}{4} = 56\)
Умножим обе части уравнения на 4:
\(2^x \cdot 7 = 224\)
Разделим обе части уравнения на 7:
\(2^x = 32\)
Представим 32 как степень двойки:
\(2^x = 2^5\)
Следовательно:
\(x = 5\)
Ответ: \(5\)

2) \(6 \cdot 5^x — 5^{x+1} — 3 \cdot 5^{x-1} = 10\)
Раскроем степени:
\(6 \cdot 5^x — 5^x \cdot 5 — 3 \cdot 5^x \cdot 5^{-1} = 10\)
Вынесем \(5^x\) за скобки:
\(5^x \cdot \left(6 — 5 — \frac{3}{5}\right) = 10\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(6 — 5 — \frac{3}{5} = \frac{30}{5} — \frac{25}{5} — \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)
Получаем:
\(5^x \cdot \frac{2}{5} = 10\)
Умножим обе части уравнения на 5:
\(5^x \cdot 2 = 50\)
Разделим обе части уравнения на 2:
\(5^x = 25\)
Представим 25 как степень пятерки:
\(5^x = 5^2\)
Следовательно:
\(x = 2\)
Ответ: \(2\)

3) \(2 \cdot 7^x + 7^{x+2} — 3 \cdot 7^{x-1} = 354\)
Раскроем степени:
\(2 \cdot 7^x + 7^x \cdot 7^2 — 3 \cdot 7^x \cdot 7^{-1} = 354\)
Вынесем \(7^x\) за скобки:
\(7^x \cdot \left(2 + 49 — \frac{3}{7}\right) = 354\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(2 + 49 — \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{343}{7} — \frac{3}{7} = \frac{354}{7}\)
Получаем:
\(7^x \cdot \frac{354}{7} = 354\)
Сократим \(\frac{354}{7}\):
\(7^x \cdot 54 = 354\)
Разделим обе части уравнения на 54:
\(7^x = 7\)
Представим 7 как степень семерки:
\(7^x = 7^1\)
Следовательно:
\(x = 1\)
Ответ: \(1\)

4) \(4^{x-2} — 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} = 228\)
Представим \(4^{x-2}\) через степень двойки:
\(4^x \cdot 4^{-2} — 3 \cdot 4^x \cdot 2^{-1} + 5 \cdot 4^x = 228\)
Вынесем \(4^x\) за скобки:
\(4^x \cdot \left(\frac{1}{16} — \frac{3}{2} + 5\right) = 228\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{1}{16} — \frac{3}{2} + 5 = \frac{1}{16} — \frac{24}{16} + \frac{80}{16} = \frac{57}{16}\)
Получаем:
\(4^x \cdot \frac{57}{16} = 228\)
Умножим обе части уравнения на 16:
\(4^x \cdot 57 = 3648\)
Разделим обе части уравнения на 57:
\(4^x = 64\)
Представим 64 как степень четверки:
\(4^x = 4^3\)
Следовательно:
\(x = 3\)
Ответ: \(3\)

5) \(4 \cdot 9^{1,5x-1} — 27^{x-1} = 33\)
Представим \(9^{1,5x-1}\) и \(27^{x-1}\) через степень тройки:
\(4 \cdot 3^{2(1,5x-1)} — 3^{3(x-1)} = 33\)
Раскроем скобки:
\(4 \cdot 3^{3x-2} — 3^{3x-3} = 33\)
Вынесем \(3^{3x-2}\) за скобки:
\(4 \cdot 3^{3x-2} — 3^{3x-2} \cdot 3^{-1} = 33\)
\(3^{3x-2} \cdot \left(4 — \frac{1}{3}\right) = 33\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(4 — \frac{1}{3} = \frac{12}{3} — \frac{1}{3} = \frac{11}{3}\)
Получаем:
\(3^{3x-2} \cdot \frac{11}{3} = 33\)
Умножим обе части уравнения на 3:
\(3^{3x-2} \cdot 11 = 99\)
Разделим обе части уравнения на 11:
\(3^{3x-2} = 9\)
Представим 9 как степень тройки:
\(3^{3x-2} = 3^2\)
Следовательно:
\(3x — 2 = 2\)
\(3x = 4\)
\(x = \frac{4}{3}\)
Ответ: \(\frac{4}{3}\)

6) \(0,5^{5-2x} + 3 \cdot 0,25^{3-x} = 5\)
Представим \(0,25^{3-x}\) через степень \(0,5\):
\(0,5^{5-2x} + 3 \cdot 0,5^{2(3-x)} = 5\)
Раскроем скобки:
\(0,5^{5-2x} + 3 \cdot 0,5^{6-2x} = 5\)
Вынесем \(0,5^{5-2x}\) за скобки:
\(0,5^{5-2x} + 3 \cdot 0,5^{5-2x} \cdot 0,5 = 5\)
\(0,5^{5-2x} \cdot (1 + 1,5) = 5\)
Сложим:
\(1 + 1,5 = 2,5\)
Получаем:
\(0,5^{5-2x} \cdot 2,5 = 5\)
Разделим обе части уравнения на 2,5:
\(0,5^{5-2x} = 2\)
Представим 2 как степень \(0,5\):
\(0,5^{5-2x} = 0,5^{-1}\)
Следовательно:
\(5 — 2x = -1\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
Ответ: \(3\)

7) \(2^{2x+1} + 4^x — \left(16^{1-0,5x}\right) = 47\)
Представим \(4^x\) и \(16^{1-0,5x}\) через степень двойки:
\(2^{2x+1} + 2^{2x} — 2^{-4(1-0,5x)} = 47\)
Раскроем скобки:
\(2^{2x} \cdot 2 + 2^{2x} — 2^{2x} \cdot 2^{-4} = 47\)
Вынесем \(2^{2x}\) за скобки:
\(2^{2x} \cdot \left(2 + 1 — \frac{1}{16}\right) = 47\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(2 + 1 — \frac{1}{16} = \frac{32}{16} + \frac{16}{16} — \frac{1}{16} = \frac{47}{16}\)
Получаем:
\(2^{2x} \cdot \frac{47}{16} = 47\)
Умножим обе части уравнения на 16:
\(2^{2x} \cdot 47 = 752\)
Разделим обе части уравнения на 47:
\(2^{2x} = 16\)
Представим 16 как степень двойки:
\(2^{2x} = 2^4\)
Следовательно:
\(2x = 4\)
\(x = 2\)
Ответ: \(2\)

8) \(4 \cdot 3^x — 5 \cdot 3^{x-1} — 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 9^{x^2-1}\)
Представим \(9^{x^2-1}\) через степень тройки:
\(4 \cdot 3^{x-2} \cdot 3^2 — 5 \cdot 3^{x-2} \cdot 3 — 6 \cdot 3^{x-2} = 15 \cdot 3^{2(x^2-1)}\)
Вынесем \(3^{x-2}\) за скобки:
\(3^{x-2} \cdot (36 — 15 — 6) = 15 \cdot 3^{2x^2-2}\)
Сложим:
\(36 — 15 — 6 = 15\)
Получаем:
\(3^{x-2} \cdot 15 = 15 \cdot 3^{2x^2-2}\)
Разделим обе части уравнения на 15:
\(3^{x-2} = 3^{2x^2-2}\)
Следовательно:
\(x — 2 = 2x^2 — 2\)
Перенесем все в одну часть:
\(2x^2 — x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\(x(2x — 1) = 0\)
Решения:
\(x_1 = 0\)
\(x_2 = 0,5\)
Ответ: \(0; 0,5\)