ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть А и В — несовместные события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли события A и В быть независимыми?

События \(A\) и \(B\) — несовместные:
\(P(A \cap B) = 0\), \(P(A) > 0\), \(P(B) > 0\);

События \(A\) и \(B\) — независимые:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0\);

Ответ: нет.

События \(A\) и \(B\) называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Для таких событий выполняется условие:
\(P(A \cap B) = 0,\)
а также известно, что
\(P(A) > 0,\)
\(P(B) > 0.\)

События \(A\) и \(B\) называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей этих событий:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).\)
В задаче указано, что
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0.\)

Рассмотрим, возможно ли, чтобы события \(A\) и \(B\) были одновременно несовместными и независимыми.

1. Для несовместных событий вероятность пересечения равна нулю:
\(P(A \cap B) = 0.\)

2. Для независимых событий вероятность пересечения равна произведению вероятностей:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).\)
Так как \(P(A) > 0\) и \(P(B) > 0\), то произведение \(P(A) \cdot P(B) > 0,\) следовательно, вероятность пересечения \(P(A \cap B) > 0.\)

Получаем противоречие: с одной стороны, для несовместных событий \(P(A \cap B) = 0,\) а с другой стороны, для независимых событий \(P(A \cap B) > 0.\)

Таким образом, события \(A\) и \(B\) не могут быть одновременно несовместными и независимыми.

Ответ: нет.