ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Схема состоит из трёх электрических блоков (рис. 20.6), каждый из которых работает безотказно в течение года с вероятностью р. Если выходит из строя хотя бы один блок, то система перестаёт работать. Для увеличения надёжности схему дополняют ещё тремя блоками (рис. 20.7). Какова вероятность безотказной работы системы в течение года? Увеличится ли надёжность системы, если использовать схему, изображённую на рисунке 20.8?

Вероятность, что блок проработает год:
\(P(A) = p\);

1) Вероятность, что не откажет один ряд:
\(P(X) = P^3(A) = p^3\);

2) Вероятность, что не откажут все ряды:
\(
P(Y) = 1 — P^2(X) = 1 — (1 — p^3)^2;
\)
\(
P(Y) = 1 — 1 + 2p^3 — p^6 = 2p^3 — p^6;
\)

3) Вероятность, что не откажет столбец:
\(
P(X) = 1 — P^2(A) = 1 — (1 — p^2);
\)
\(
P(X) = 1 — 1 + 2p — p^2 = p(2 — p);
\)

4) Вероятность, что не будет отказов:
\(
P(Y) = P^3(X) = p^3(2 — p)^3;
\)

5) Вторая схема надёжнее:
\(
\frac{p^3(2 — p)^3}{2p^3 — p^6} = \frac{(2 — p)^3}{2 — p^3} \geq 1;
\)

Ответ: \(2p^3 — p^6\). Да.

Вероятность того, что блок проработает год, обозначается как \(P(A) = p\).

1. Рассмотрим вероятность того, что не откажет один ряд.

Каждый ряд состоит из трех блоков, и вероятность того, что все три блока работают исправно, равна:
\(
P(X) = P^3(A) = p^3.
\)

2. Найдем вероятность того, что не откажут все ряды.

Для этого используем формулу вероятности отказа хотя бы одного ряда:
\(
P(Y) = 1 — P^2(X).
\)
Подставим выражение для \(P(X)\):
\(
P(Y) = 1 — (1 — p^3)^2.
\)
Раскроем квадрат:
\(
P(Y) = 1 — (1 — 2p^3 + p^6).
\)
Упростим выражение:
\(
P(Y) = 1 — 1 + 2p^3 — p^6 = 2p^3 — p^6.
\)

3. Рассмотрим вероятность того, что не откажет столбец.

Каждый столбец состоит из двух блоков, и вероятность того, что хотя бы один блок работает исправно, равна:
\(
P(X) = 1 — P^2(A).
\)
Подставим выражение для \(P(A)\):
\(
P(X) = 1 — (1 — p^2).
\)
Упростим выражение:
\(
P(X) = 1 — 1 + p^2 = p(2 — p).
\)

4. Найдем вероятность того, что не будет отказов.

Для этого используем вероятность того, что все три столбца работают исправно:
\(
P(Y) = P^3(X).
\)
Подставим выражение для \(P(X)\):
\(
P(Y) = p^3(2 — p)^3.
\)

5. Сравним надежность двух схем.

Для этого найдем отношение вероятностей отказа двух схем:
\(
\frac{p^3(2 — p)^3}{2p^3 — p^6}.
\)
Упростим дробь:
\(
\frac{p^3(2 — p)^3}{2p^3 — p^6} = \frac{(2 — p)^3}{2 — p^3}.
\)
Покажем, что данное отношение больше либо равно единице:
\(
\frac{(2 — p)^3}{2 — p^3} \geq 1.
\)

Ответ: вероятность отказа первой схемы равна \(2p^3 — p^6\). Вторая схема действительно надежнее.