ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При одном обороте локатора радиолокационная станция обнаруживает объект с вероятностью 70 %. Обнаружение объекта на каждом обороте не зависит от предыдущих оборотов. Сколько оборотов должна сделать радиолокационная станция, чтобы обнаружить объект с вероятностью, превышающей 99,9 %?

Вероятность обнаружить объект: \(P(A) = 70\%\);

Вероятность обнаружить выше 99,9\%:
\(P(X) = P^n(A) = (1 — 0,7)^n < 0,001;\)
\(0,3^n < 0,001, \, n > 5;\)

Ответ: 6.

Вероятность обнаружить объект:
\(P(A) = 70\% = 0,7\)

Необходимо определить минимальное количество попыток \(n\), чтобы вероятность не обнаружить объект была меньше 0,001, то есть:
\(P(X) = P^n(\overline{A}) = (1 — P(A))^n < 0,001.\)

Подставим значение \(P(A) = 0,7\):
\(P(X) = (1 — 0,7)^n = 0,3^n < 0,001.\)

Рассмотрим неравенство:
\(0,3^n < 0,001.\)

Для решения найдем минимальное \(n\), при котором данное неравенство выполняется.
Преобразуем неравенство, используя логарифмы:
\(n \cdot \log(0,3) < \log(0,001).\)

Поскольку логарифм отрицателен для чисел меньше единицы, изменим знак неравенства:
\(n > \frac{\log(0,001)}{\log(0,3)}.\)

Вычислим значения:
\(\log(0,001) = -3, \quad \log(0,3) \approx -0,522.\)

Подставим:
\(n > \frac{-3}{-0,522} \approx 5,75.\)

Таким образом, минимальное целое значение \(n\), удовлетворяющее условию, равно:
\(n = 6.\)

Ответ:
\(n = 6.\)