ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть A и В — независимые события некоторого испытания. Докажите, что события A и В также являются независимыми.

События \( A \) и \( B \) — независимые:
\(
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B);
\)

События \( \overline{A} \) и \( B \) — независимые:
\(
P(B) = P(A \cap B) + P(B \cap \overline{A});
\)

\(
P(B \cap \overline{A}) = P(B) — P(A \cap B);
\)

\(
P(B \cap \overline{A}) = P(B) — P(A) \cdot P(B);
\)

\(
P(B \cap \overline{A}) = (1 — P(A)) \cdot P(B);
\)

\(
P(B \cap \overline{A}) = P(\overline{A}) \cdot P(B);
\)

Что и требовалось доказать.

События \( A \) и \( B \) — независимые, поэтому:
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \).

Теперь рассмотрим события \( \overline{A} \) и \( B \), которые также являются независимыми. Используем формулу полной вероятности:
\( P(B) = P(A \cap B) + P(B \cap \overline{A}) \).

Из этого выражения выразим вероятность пересечения событий \( B \) и \( \overline{A} \):
\( P(B \cap \overline{A}) = P(B) — P(A \cap B) \).

Подставим значение \( P(A \cap B) \), которое мы нашли ранее:
\( P(B \cap \overline{A}) = P(B) — P(A) \cdot P(B) \).

Вынесем \( P(B) \) за скобки:
\( P(B \cap \overline{A}) = (1 — P(A)) \cdot P(B) \).

Заметим, что \( 1 — P(A) \) — это вероятность противоположного события \( \overline{A} \), то есть:
\( P(B \cap \overline{A}) = P(\overline{A}) \cdot P(B) \).

Таким образом, доказано, что вероятность пересечения событий \( B \) и \( \overline{A} \) равна произведению их вероятностей, что подтверждает независимость этих событий.

Что и требовалось доказать.