ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть A и В — независимые события некоторого испытания. Докажите, что события !А и !В также являются независимыми.

События \(A\) и \(B\) — независимые: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\);

1) События \(\overline{A}\) и \(B\) — независимые:
\(P(B) = P(A \cap B) + P(B \cap \overline{A})\);
\(P(B \cap \overline{A}) = P(B) — P(A \cap B)\);
\(P(B \cap \overline{A}) = P(B) — P(A) \cdot P(B)\);
\(P(B \cap \overline{A}) = (1 — P(A)) \cdot P(B)\);
\(P(B \cap \overline{A}) = P(\overline{A}) \cdot P(B)\);

2) События \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\) — независимые:
\(P(\overline{A}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)\);
\(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) — P(\overline{A} \cap \overline{B})\);
\(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) — P(A) \cdot P(B)\);
\(P(\overline{A} \cap B) = (1 — P(B)) \cdot P(A)\);
\(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{B}) \cdot P(A)\);

Что и требовалось доказать.

События \(A\) и \(B\) — независимые, поэтому выполняется равенство:

\(
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
\)

1) Докажем независимость событий \(\overline{A}\) и \(B\).

Используем формулу полной вероятности для события \(B\):

\(
P(B) = P(A \cap B) + P(B \cap \overline{A})
\)

Выразим вероятность пересечения событий \(B\) и \(\overline{A}\):

\(
P(B \cap \overline{A}) = P(B) — P(A \cap B)
\)

Подставим значение \(P(A \cap B)\) из условия независимости событий \(A\) и \(B\):

\(
P(B \cap \overline{A}) = P(B) — P(A) \cdot P(B)
\)

Вынесем \(P(B)\) за скобки:

\(
P(B \cap \overline{A}) = (1 — P(A)) \cdot P(B)
\)

Заметим, что \(1 — P(A)\) — это вероятность противоположного события \(\overline{A}\), то есть:

\(
P(B \cap \overline{A}) = P(\overline{A}) \cdot P(B)
\)

Таким образом, доказано, что вероятность пересечения событий \(B\) и \(\overline{A}\) равна произведению их вероятностей, что подтверждает независимость этих событий.

2) Докажем независимость событий \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\).

Используем формулу полной вероятности для события \(\overline{A}\):

\(
P(\overline{A}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)
\)

Выразим вероятность пересечения событий \(\overline{A}\) и \(B\):

\(
P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) — P(\overline{A} \cap \overline{B})
\)

Подставим значение \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\), используя независимость событий \(A\) и \(B\):

\(
P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(B)
\)

Теперь подставим это выражение в формулу:

\(
P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) — P(A) \cdot P(B)
\)

Вынесем \(P(A)\) за скобки:

\(
P(\overline{A} \cap B) = (1 — P(B)) \cdot P(A)
\)

Заметим, что \(1 — P(B)\) — это вероятность противоположного события \(\overline{B}\), то есть:

\(
P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{B}) \cdot P(A)
\)

Таким образом, доказано, что вероятность пересечения событий \(\overline{A}\) и \(B\) равна произведению их вероятностей, что подтверждает независимость этих событий.

Что и требовалось доказать.