ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть А и В — несовместные события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли случайные события A и В быть независимыми?

События \(A\) и \(B\) — несовместные: \(P(A \cap B) = 0\), \(P(A) > 0\), \(P(B) > 0\);
События \(A\) и \(B\) — независимые: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0\);
Ответ: нет.

События \(A\) и \(B\) — несовместные:
\(P(A \cap B) = 0,\)
\(P(A) > 0,\)
\(P(B) > 0.\)

События \(A\) и \(B\) — независимые:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0.\)

Ответ: нет.

Расшифруем утверждение.

1. Несовместные события — это такие события, которые не могут произойти одновременно. Формально это выражается равенством:
\(P(A \cap B) = 0.\)
При этом вероятности событий \(A\) и \(B\) положительны, то есть:
\(P(A) > 0\)
и
\(P(B) > 0.\)

2. Независимые события — это такие события, для которых вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).\)

В условии задачи указано, что для независимых событий выполняется:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0.\)

Однако это противоречит условию несовместности событий \(A\) и \(B\), так как для несовместных событий вероятность пересечения равна нулю:
\(P(A \cap B) = 0.\)

Следовательно, события \(A\) и \(B\) не могут быть одновременно несовместными и независимыми.

Ответ: нет.