ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть A и В — независимые события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли случайные события A и В быть несовместными?

События \(A\) и \(B\) — независимые:
\(P(A) > 0,\) \(P(B) > 0;\)
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0;\)

События \(A\) и \(B\) — несовместные:
\(P(A \cap B) = 0;\)

Ответ: нет.

События \(A\) и \(B\) — независимые:
\(P(A) > 0,\) \(P(B) > 0;\)
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0;\)

События \(A\) и \(B\) — несовместные:
\(P(A \cap B) = 0;\)

Расшифруем утверждение.

1. Независимые события — это такие события, для которых вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
\(
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
\)
В условии задачи указано, что для независимых событий выполняется:
\(
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0.
\)
То есть вероятность пересечения этих событий положительна.

2. Несовместные события — это такие события, которые не могут произойти одновременно. Формально это выражается равенством:
\(
P(A \cap B) = 0.
\)
При этом вероятности событий \(A\) и \(B\) положительны, то есть:
\(
P(A) > 0
\)
и
\(
P(B) > 0.
\)

Однако это противоречит условию независимости событий \(A\) и \(B\), так как для независимых событий вероятность пересечения положительна (\(P(A \cap B) > 0\)), а для несовместных событий вероятность пересечения равна нулю (\(P(A \cap B) = 0\)).

Следовательно, события \(A\) и \(B\) не могут быть одновременно независимыми и несовместными.

Ответ: нет.