ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

События \(A\) и \(B\) — независимые: \(P(A) > 0,\) \(P(B) > 0;\) \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0;\)

События \(A\) и \(B\) — несовместные: \(P(A \cap B) = 0;\)

Ответ: нет.

События \(A\) и \(B\) называются независимыми, если выполняется следующее условие:
\(
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
\)
При этом в задаче указано, что \(P(A) > 0\), \(P(B) > 0\), а также
\(
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0.
\)
Это означает, что вероятность пересечения событий \(A\) и \(B\) положительна.

События \(A\) и \(B\) называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Формально это записывается как:
\(
P(A \cap B) = 0.
\)

Теперь разберёмся, возможно ли, чтобы события \(A\) и \(B\) были одновременно независимыми и несовместными.

1. Для независимых событий вероятность их пересечения равна произведению вероятностей:
\(
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
\)
Так как \(P(A) > 0\) и \(P(B) > 0\), то произведение \(P(A) \cdot P(B) > 0\), следовательно, вероятность пересечения \(P(A \cap B) > 0\).

2. Для несовместных событий вероятность пересечения равна нулю:
\(
P(A \cap B) = 0.
\)

Таким образом, одновременно выполняться оба условия не могут, так как в первом случае \(P(A \cap B) > 0\), а во втором \(P(A \cap B) = 0\).

Следовательно, события \(A\) и \(B\) не могут быть одновременно независимыми и несовместными.

Ответ: нет.