ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 21.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Монету подбрасывают дважды. Случайная величина \(x\) равна количеству выпавших гербов. Найти распределение вероятностей случайной величины \(z = x + x^2\).

Монету подбрасывают дважды:
\(
P(0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4};
\)
\(
P(1) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2};
\)
\(
P(2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
\)

1) Величина \(x\) равна числу гербов:
\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & 1 & 2 \\
\hline
p & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\)

2) Распределение для \(z = x + x^2\):
\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
z & 0 & 2 & 6 \\
\hline
p & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\)

Условие
Монету подбрасывают дважды. Мы хотим определить распределение вероятностей для числа гербов, выпавших в результате двух подбрасываний, а затем рассмотреть распределение новой величины \(z = x + x^2\), где \(x\) — число гербов.

Шаг 1. Число гербов \(x\)
При двух подбрасываниях монеты возможны следующие исходы:

— Оба раза выпадает решка: \(РР\) — число гербов \(x = 0\);
— Один раз выпадает герб, другой раз решка: \(ГР\) или \(РГ\) — число гербов \(x = 1\);
— Оба раза выпадает герб: \(ГГ\) — число гербов \(x = 2\).

Каждый исход имеет вероятность \(\frac{1}{4}\), поскольку вероятность выпадения герба или решки равна \(\frac{1}{2}\), а подбрасывания независимы.

Теперь найдем вероятность каждого значения \(x\):

1. Для \(x = 0\) (оба раза решка):
\(
P(0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\)

2. Для \(x = 1\) (один герб и одна решка):
Здесь возможны два исхода (\(ГР\) и \(РГ\)), каждый из которых имеет вероятность \(\frac{1}{4}\). Тогда:
\(
P(1) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\)

3. Для \(x = 2\) (оба раза герб):
\(
P(2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\)

Таким образом, распределение вероятностей для \(x\) представлено в таблице:

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & 1 & 2 \\
\hline
p & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\)

Шаг 2. Новая величина \(z = x + x^2\)
Теперь введем новую величину \(z = x + x^2\) и найдем её значения для каждого возможного \(x\):

1. Если \(x = 0\):
\(
z = 0 + 0^2 = 0
\)

2. Если \(x = 1\):
\(
z = 1 + 1^2 = 1 + 1 = 2
\)

3. Если \(x = 2\):
\(
z = 2 + 2^2 = 2 + 4 = 6
\)

Таким образом, возможные значения \(z\) — это \(0\), \(2\) и \(6\).

Шаг 3. Вероятности для \(z\)
Вероятность каждого значения \(z\) совпадает с вероятностью соответствующего значения \(x\), так как \(z\) однозначно определяется через \(x\). Используем распределение \(x\):

— Для \(z = 0\) (соответствует \(x = 0\)):
\(
P(z = 0) = P(x = 0) = \frac{1}{4}
\)

— Для \(z = 2\) (соответствует \(x = 1\)):
\(
P(z = 2) = P(x = 1) = \frac{1}{2}
\)

— Для \(z = 6\) (соответствует \(x = 2\)):
\(
P(z = 6) = P(x = 2) = \frac{1}{4}
\)

Таким образом, распределение вероятностей для \(z\) представлено в таблице:

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
z & 0 & 2 & 6 \\
\hline
p & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\)

Итоговое объяснение
Мы последовательно нашли распределение вероятностей для числа гербов \(x\) при двух подбрасываниях монеты, а затем вычислили распределение новой величины \(z = x + x^2\). Величина \(z\) зависит от \(x\), и её вероятности совпадают с вероятностями соответствующих значений \(x\).

Если нужно ещё больше деталей или пояснений, дайте знать!