ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 21.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В одной коробке лежат 2 шара, пронумерованных числами 1 и 2; а в другой — 3 шара, пронумерованных числами 1, 2 и 3. Из каждой коробки наугад берут по одному шару. Случайная величина у равна сумме чисел на взятых шарах. Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

В коробках лежат шары:
A = 2 – с числами 1 и 2;
B = 3 – с числами 1, 2 и 3;

\(P(2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}, \quad P(3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{6}\),

\(P(4) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{6}, \quad P(5) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).

Величина \(y\) равна сумме чисел:

\(
\begin{array}{|c|c|}
\hline
y & p \\
\hline
2 & \frac{1}{6} \\
3 & \frac{2}{6} \\
4 & \frac{2}{6} \\
5 & \frac{1}{6} \\
\hline
\end{array}
\)

В коробках лежат шары:
\(A = 2\) – в первой коробке лежат шары с числами \(1\) и \(2\);
\(B = 3\) – во второй коробке лежат шары с числами \(1, 2\) и \(3\).

Шары выбираются случайным образом: сначала выбирается одна из коробок, а затем из выбранной коробки случайно вытаскивается один шар. Вероятность выбора каждой коробки равна \( \frac{1}{2} \), так как выбор осуществляется равномерно. Вероятность вытаскивания любого шара из коробки равна \( \frac{1}{3} \), так как в каждой коробке лежат три шара.

Нужно найти вероятность того, что сумма чисел на двух шарах, извлечённых из двух коробок, принимает значения \(y = 2, 3, 4, 5\).

Расчёт вероятностей

1. Вероятность того, что сумма чисел равна \(2\):
Для того чтобы сумма чисел была равна \(2\), нужно, чтобы:
— из первой коробки был выбран шар с числом \(1\),
— из второй коробки был выбран шар с числом \(1\).

Вероятность этого события:
\(
P(2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
\)

2. Вероятность того, что сумма чисел равна \(3\):
Для того чтобы сумма чисел была равна \(3\), возможны два случая:
— из первой коробки выбран шар с числом \(1\), а из второй коробки – шар с числом \(2\);
— из первой коробки выбран шар с числом \(2\), а из второй коробки – шар с числом \(1\).

Вероятность первого случая:
\(
P_{\text{случай 1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
\)

Вероятность второго случая:
\(
P_{\text{случай 2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
\)

Общая вероятность:
\(
P(3) = P_{\text{случай 1}} + P_{\text{случай 2}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}.
\)

3. Вероятность того, что сумма чисел равна \(4\):
Для того чтобы сумма чисел была равна \(4\), возможны два случая:
— из первой коробки выбран шар с числом \(2\), а из второй коробки – шар с числом \(2\);
— из первой коробки выбран шар с числом \(1\), а из второй коробки – шар с числом \(3\).

Вероятность первого случая:
\(
P_{\text{случай 1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
\)

Вероятность второго случая:
\(
P_{\text{случай 2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
\)

Общая вероятность:
\(
P(4) = P_{\text{случай 1}} + P_{\text{случай 2}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}.
\)

4. Вероятность того, что сумма чисел равна \(5\):
Для того чтобы сумма чисел была равна \(5\), нужно, чтобы:
— из первой коробки был выбран шар с числом \(2\),
— из второй коробки был выбран шар с числом \(3\).

Вероятность этого события:
\(
P(5) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
\)

Итоговое распределение вероятностей

Величина \(y\) равна сумме чисел. Её распределение представлено в таблице:

\(
\begin{array}{|c|c|}
\hline
y & p \\
\hline
2 & \frac{1}{6} \\
3 & \frac{2}{6} \\
4 & \frac{2}{6} \\
5 & \frac{1}{6} \\
\hline
\end{array}
\)