ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами \( n \) и \( p \) число успешных исходов равно \( m \), если:

1) \( n = 10, \, p = \frac{1}{4}, \, m = 2 \);
2) \( n = 8, \, p = 0.8, \, m = 8 \);
3) \( n = 5, \, p = 0.4, \, m = 3 \).

Найти вероятность:

1) \( n = 10, \, p = \frac{1}{4}, \, m = 2 \);
\(
p = C_{10}^2 \cdot ( \frac{1}{4} )^2 \cdot ( \frac{3}{4} )^8 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot \frac{1}{16} \cdot 0,75^8;
\)
\(
p = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{0,1}{16} = 0,28125 \approx 28\%;
\)
Ответ: \( 28\% \).

2) \( n = 8, \, p = 0,8, \, m = 8 \);
\(
p = C_{8}^8 \cdot 0,8^8 \cdot 0,2^0;
\)
\(
p = 0,16777216 \approx 17\%;
\)
Ответ: \( 17\% \).

3) \( n = 5, \, p = 40\%, \, m = 3 \);
\(
p = C_{5}^3 \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^2 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot 0,064 \cdot 0,36;
\)
\(
p = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 0,02304 = 0,2304 \approx 23\%;
\)
Ответ: \( 23\% \).

Найти вероятность:

1) \( n = 10, \, p = \frac{1}{4}, \, m = 2 \)

Вероятность вычисляется по формуле биномиального распределения:
\(
p = C_{n}^m \cdot p^m \cdot (1-p)^{n-m}
\)

Подставим значения:
\(
p = C_{10}^2 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^8
\)

Вычислим число сочетаний:
\(
C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45
\)

Теперь подставим в формулу:
\(
p = 45 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^8
\)

Вычислим:
\(
\left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}, \quad \left( \frac{3}{4} \right)^8 \approx 0,100112
\)

Получаем:
\(
p = 45 \cdot \frac{1}{16} \cdot 0,100112 = 0,28125 \approx 28\%
\)

Ответ: \( 28\% \).

2) \( n = 8, \, p = 0,8, \, m = 8 \)

Используем ту же формулу:
\(
p = C_{n}^m \cdot p^m \cdot (1-p)^{n-m}
\)

Подставим значения:
\(
p = C_{8}^8 \cdot 0,8^8 \cdot 0,2^0
\)

Число сочетаний:
\(
C_{8}^8 = \frac{8!}{8! \cdot (8-8)!} = 1
\)

Теперь:
\(
p = 1 \cdot 0,8^8 \cdot 1
\)

Вычислим \( 0,8^8 \):
\(
0,8^8 \approx 0,16777216
\)

Получаем:
\(
p = 0,16777216 \approx 17\%
\)

Ответ: \( 17\% \).

3) \( n = 5, \, p = 40\%, \, m = 3 \)

Используем формулу:
\(
p = C_{n}^m \cdot p^m \cdot (1-p)^{n-m}
\)

Подставим значения:
\(
p = C_{5}^3 \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^2
\)

Число сочетаний:
\(
C_{5}^3 = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10
\)

Теперь:
\(
p = 10 \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^2
\)

Вычислим:
\(
0,4^3 = 0,064, \quad 0,6^2 = 0,36
\)

Получаем:
\(
p = 10 \cdot 0,064 \cdot 0,36 = 0,2304 \approx 23\%
\)

Ответ: \( 23\% \).