ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Тест состоит из 8 вопросов. Вероятность того, что ученик правильно ответит на отдельно взятый вопрос, равна 80 %. Найдите вероятность того, что ученик правильно ответит на 5 вопросов.

Вероятность, что ученик ответит на вопрос 80%;
Вероятность, что он ответит на 5 вопросов из 8:

\(
P = C_8^5 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^3 = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot 0,32768 \cdot 0,08;
\)

\(
P \approx \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2} \cdot 0,32768 \cdot 0,08 \approx 0,0026 = 0,1456 \approx 15\%;
\)

Ответ: 15%.

Вероятность, что ученик ответит на вопрос, равна 80%. Требуется найти вероятность того, что он правильно ответит на 5 вопросов из 8.

Для решения задачи используем формулу для вычисления вероятности в биномиальном распределении:

\(
P = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},
\)

где:
— \( n = 8 \) — общее количество вопросов,
— \( k = 5 \) — количество правильных ответов,
— \( p = 0,8 \) — вероятность правильного ответа на один вопрос,
— \( 1-p = 0,2 \) — вероятность неправильного ответа на один вопрос,
— \( C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \) — число сочетаний.

Подставляем значения:

\(
P = C_8^5 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^3.
\)

Вычислим число сочетаний \( C_8^5 \):

\(
C_8^5 = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!}.
\)

Расписываем факториалы:

\(
8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1,
\quad 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1,
\quad 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1.
\)

Сокращаем одинаковые множители:

\(
C_8^5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2} = \frac{336}{6} = 56.
\)

Теперь вычислим вероятность:

\(
P = 56 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^3.
\)

Вычисляем \( 0,8^5 \):

\(
0,8^5 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,32768.
\)

Вычисляем \( 0,2^3 \):

\(
0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008.
\)

Подставляем значения:

\(
P = 56 \cdot 0,32768 \cdot 0,008.
\)

Выполняем умножение:

\(
P = 56 \cdot 0,00262048 = 0,14674688.
\)

Округляем до четырёх знаков после запятой:

\(
P \approx 0,1456.
\)

Переводим вероятность в проценты:

\(
P \approx 14,56\% \approx 15\%.
\)

Ответ: 15%.