ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \( z \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n = 7 \) и \( p = 0.5 \). Найдите:
1) \( P(z < 1) \);
2) \( P(2 < z < 5) \).

Случайная величина \(z\) имеет биноминальное распределение с параметрами \(n = 7\) и \(p = 0,5\):

1) \(P(z \leq 1) = P(0) + P(1)\)
\(
= C_0^0 \cdot 0,5^0 \cdot 0,5^7 + C_1^1 \cdot 0,5^1 \cdot 0,5^6
= 1 \cdot 0,5^7 + 7 \cdot 0,5^7
= 8 \cdot 0,5^7
\)
\(
= 2^3 \cdot 2^{-7} = 2^{-4} = 0,0625 \approx 6\%.
\)
Ответ: 6%.

2) \(P(2 \leq z < 5) = P(2) + P(3) + P(4)\)
\(
= C_2^2 \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^5 + C_3^3 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^4 + C_4^4 \cdot 0,5^4 \cdot 0,5^3
\)
\(
= \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot 0,5^7 + \frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot 0,5^7 + \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot 0,5^7
\)
\(
= \left(\frac{7 \cdot 6}{2} + \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} + \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6}\right) \cdot 0,5^7
\)
\(
= \frac{21 + 35 + 35}{128} = 0,7109375 \approx 71\%.
\)
Ответ: 71%.

Случайная величина \(z\) имеет биноминальное распределение с параметрами \(n = 7\) и \(p = 0,5\):

1. Найдем вероятность \(P(z \leq 1)\):

\[
P(z \leq 1) = P(0) + P(1)
\]

Для биномиального распределения вероятность вычисляется по формуле:

\[
P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

где \(C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) — число сочетаний. Подставим значения:

\(
P(0) = C_7^0 \cdot 0,5^0 \cdot 0,5^7
\)

\(
P(0) = 1 \cdot 0,5^7
\)

\(
P(1) = C_7^1 \cdot 0,5^1 \cdot 0,5^6
\)

\(
P(1) = 7 \cdot 0,5^7
\)

Сложим эти вероятности:

\(
P(z \leq 1) = 1 \cdot 0,5^7 + 7 \cdot 0,5^7 = 8 \cdot 0,5^7
\)

Преобразуем \(0,5^7\) в степень двойки:

\(
0,5^7 = (2^{-1})^7 = 2^{-7}
\)

Таким образом:

\(
P(z \leq 1) = 8 \cdot 2^{-7} = 2^3 \cdot 2^{-7} = 2^{-4}
\)

Вычислим значение:

\(
2^{-4} = \frac{1}{16} = 0,0625
\)

Округлим до процентов:

\(
P(z \leq 1) \approx 6\%
\)

Ответ: 6%.

2. Найдем вероятность \(P(2 \leq z < 5)\):

\(
P(2 \leq z < 5) = P(2) + P(3) + P(4)
\)

Рассчитаем каждую из вероятностей:

\(
P(2) = C_7^2 \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^5
\)

\(
P(3) = C_7^3 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^4
\)

\(
P(4) = C_7^4 \cdot 0,5^4 \cdot 0,5^3
\)

Вынесем общий множитель \(0,5^7\):

\(
P(2) = C_7^2 \cdot 0,5^7, \quad P(3) = C_7^3 \cdot 0,5^7, \quad P(4) = C_7^4 \cdot 0,5^7
\)

Теперь найдем значения чисел сочетаний:

\(
C_7^2 = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21
\)

\(
C_7^3 = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35
\)

\(
C_7^4 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35
\)

Сложим все вероятности:

\(
P(2 \leq z < 5) = (21 + 35 + 35) \cdot 0,5^7
\)

Вычислим сумму чисел сочетаний:

\(
21 + 35 + 35 = 91
\)

Подставим значение \(0,5^7\):

\(
P(2 \leq z < 5) = 91 \cdot 0,5^7 = 91 \cdot 2^{-7}
\)

Преобразуем:

\(
P(2 \leq z < 5) = \frac{91}{128}
\)

Вычислим значение:

\(
\frac{91}{128} = 0,7109375
\)

Округлим до процентов:

\(
P(2 \leq z < 5) \approx 71\%
\)

Ответ: 71%.