ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \(z\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(n = 5\) и \(p = 0,8\). Найдите:

1) \(P(z > 3)\);

2) \(P(1 < z < 3)\).

Случайная величина \(z\) имеет биноминальное распределение с параметрами \(n = 5\) и \(p = 0,8\):

1) \(P(z > 3) = P(4) + P(5) = C_5^4 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^1 + C_5^5 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^0 = \)
1) \(5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,32768 \cdot 1 = 0,73728 \approx 74\%\).
Ответ: \(74\%\).

2) \(P(1 < z \leq 3) = P(2) + P(3) = C_5^2 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^3 + C_5^3 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^2 = \)
\(= \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot 0,64 \cdot 0,008 + \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot 0,512 \cdot 0,04 =\)
\(= 10 \cdot (0,00512 + 0,02048) = 0,256 \approx 26\%\)
Ответ: \(26\%\).

1) Вероятность \(P(z > 3)\):

\(
P(z > 3) = P(4) + P(5)
\)

Сначала вычислим \(P(4)\):

\(
P(4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot (1 — p)^1
\)

Коэффициент \(C_5^4\) вычисляется как:

\(
C_5^4 = \frac{5!}{4! \cdot (5 — 4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5
\)

Подставим значения \(p = 0,8\) и \(1 — p = 0,2\):

\(
P(4) = 5 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2
\)

Вычислим \(0,8^4\):

\(
0,8^4 = 0,4096
\)

Теперь:

\(
P(4) = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 = 5 \cdot 0,08192 = 0,4096
\)

Далее вычислим \(P(5)\):

\(
P(5) = C_5^5 \cdot p^5 \cdot (1 — p)^0
\)

Коэффициент \(C_5^5\) равен:

\(
C_5^5 = \frac{5!}{5! \cdot (5 — 5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1
\)

Подставим значения:

\(
P(5) = 1 \cdot 0,8^5 \cdot 1
\)

Вычислим \(0,8^5\):

\(
0,8^5 = 0,32768
\)

Теперь:

\(
P(5) = 1 \cdot 0,32768 \cdot 1 = 0,32768
\)

Сложим \(P(4)\) и \(P(5)\):

\(
P(z > 3) = P(4) + P(5) = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728
\)

Округлим результат:

\(
P(z > 3) \approx 0,74 \, \text{или} \, 74\%
\)

2) Вероятность \(P(1 < z \leq 3)\):

\(
P(1 < z \leq 3) = P(2) + P(3)
\)

Сначала вычислим \(P(2)\):

\(
P(2) = C_5^2 \cdot p^2 \cdot (1 — p)^3
\)

Коэффициент \(C_5^2\) вычисляется как:

\(
C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5 — 2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10
\)

Подставим значения \(p = 0,8\) и \(1 — p = 0,2\):

\(
P(2) = 10 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^3
\)

Вычислим \(0,8^2\) и \(0,2^3\):

\(
0,8^2 = 0,64, \quad 0,2^3 = 0,008
\)

Теперь:

\(
P(2) = 10 \cdot 0,64 \cdot 0,008 = 10 \cdot 0,00512 = 0,0512
\)

Далее вычислим \(P(3)\):

\(
P(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot (1 — p)^2
\)

Коэффициент \(C_5^3\) вычисляется как:

\(
C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot (5 — 3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10
\)

Подставим значения \(p = 0,8\) и \(1 — p = 0,2\):

\(
P(3) = 10 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^2
\)

Вычислим \(0,8^3\) и \(0,2^2\):

\(
0,8^3 = 0,512, \quad 0,2^2 = 0,04
\)

Теперь:

\(
P(3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 = 10 \cdot 0,02048 = 0,2048
\)

Сложим \(P(2)\) и \(P(3)\):

\(
P(1 < z \leq 3) = P(2) + P(3) = 0,0512 + 0,2048 = 0,256
\)

Округлим результат:

\(
P(1 < z \leq 3) \approx 0,26 \, \text{или} \, 26\%
\)