ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \( z \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n = 100 \) и \( p = 0,64 \). Требуется найти такое значение \( k \), при котором вероятность события \( P(z = k) \) будет наибольшей.

Величина \( z \) имеет распределение:
\( n = 100, \, p = 0,64 \);

Величина \( P(z = k) \) наибольшая:
\(
P(z = k) < P(z = k + 1);
\)
\(
C_{100}^k \cdot 0,64^k \cdot 0,36^{100-k} < C_{100}^{k+1} \cdot 0,64^{k+1} \cdot 0,36^{99-k},
\)
\(
\frac{100!}{k! \cdot (100 — k)!} \cdot 0,36 < \frac{100!}{(k + 1)! \cdot (99 — k)!} \cdot 0,64;
\)
\(
\frac{0,36}{0,64} \cdot \frac{100 — k}{k + 1} < 1;
\)
\(
0,36k < 64 — 0,64k;
\)
\(
k < 63,64, \quad k \approx 63.
\)

Ответ: \( k = 64 \).

Величина \( z \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n = 100 \) и \( p = 0.64 \).

Для нахождения значения \( k \), при котором вероятность \( P(z = k) \) является наибольшей, проверяется условие роста вероятности:

\(
P(z = k) < P(z = k + 1)
\)

Подставим формулу биномиального распределения:

\(
P(z = k) = C_{100}^k \cdot 0.64^k \cdot 0.36^{100-k}
\)

и

\(
P(z = k + 1) = C_{100}^{k+1} \cdot 0.64^{k+1} \cdot 0.36^{99-k}.
\)

Тогда условие \(
P(z = k) < P(z = k + 1)
\) принимает вид:

\(
C_{100}^k \cdot 0.64^k \cdot 0.36^{100-k} < C_{100}^{k+1} \cdot 0.64^{k+1} \cdot 0.36^{99-k}.
\)

Развернем выражение для биномиального коэффициента \(
C_{100}^k
\) и \(
C_{100}^{k+1}
\):

\(
C_{100}^k = \frac{100!}{k! \cdot (100 — k)!}, \quad C_{100}^{k+1} = \frac{100!}{(k+1)! \cdot (99-k)!}.
\)

Подставим в неравенство:

\(
\frac{100!}{k! \cdot (100-k)!} \cdot 0.36^{100-k} \cdot 0.64^k < \frac{100!}{(k+1)! \cdot (99-k)!} \cdot 0.36^{99-k} \cdot 0.64^{k+1}.
\)

Сократим факториалы \( 100! \), а также \( 0.36^{99-k} \) и \( 0.64^k \), получим:

\(
\frac{1}{k! \cdot (100-k)!} \cdot 0.36 < \frac{1}{(k+1)! \cdot (99-k)!} \cdot 0.64.
\)

Перепишем биномиальные коэффициенты:

\(
\frac{100-k}{k+1} \cdot \frac{0.36}{0.64} < 1.
\)

Упростим дробь:

\(
\frac{0.36}{0.64} = 0.5625.
\)

Тогда:

\(
0.5625 \cdot \frac{100-k}{k+1} < 1.
\)

Распишем это неравенство:

\(
0.5625 \cdot (100-k) < k+1.
\)

Раскроем скобки:

\(
56.25 — 0.5625k < k+1.
\)

Перенесем все \( k \) в одну сторону:

\(
56.25 < 1.5625k + 1.
\)

\(
55.25 < 1.5625k.
\)

Разделим обе стороны на \( 1.5625 \):

\(
k > \frac{55.25}{1.5625}.
\)

Выполним деление:

\(
k > 63.64.
\)

Поскольку \( k \) — целое число, наибольшая вероятность достигается при \( k = 64 \).

Ответ:

\(
k = 64.
\)