ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \( z \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n = 50 \) и \( p = 0.15 \). Требуется найти значение \( k \), при котором вероятность события \( P(z = k) \) будет наименьшей:

\(
P(z = k) = C_{50}^k \cdot 0.15^k \cdot 0.85^{50-k}, \quad k \in (0, 1, 2, \dots, 50).
\)

Найти такое \( k \), что:

\(
P(z = k) = \min_{k} P(z = k).
\)

Величина \( z \) имеет распределение:
\( n = 50, \, p = 0,15 \);

Величина \( P(z = k) \) наименьшая:
\(
P(z = k) > P(z = k + 1);
\)

\(
C_{50}^k \cdot 0,15^k \cdot 0,85^{50-k} > C_{k+1} \cdot 0,15^{k+1} \cdot 0,85^{49-k}.
\)

\(
\frac{50!}{k! \cdot (50 — k)!} \cdot 0,85 > \frac{50!}{(k + 1)! \cdot (49 — k)!} \cdot 0,15;
\)

\(
\frac{0,85}{0,15} \cdot \frac{50 — k}{k + 1}.
\)

\(
0,85k + 0,85 > 7,5 — 0,15k;
\)

\(
k > 6,65, \quad k = 7.
\)

Ответ: 50.

Величина \( z \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n = 50 \) и \( p = 0,15 \).

Требуется найти \( k \), для которого вероятность \( P(z = k) \) наименьшая, при условии, что:
\(
P(z = k) > P(z = k + 1).
\)

Вероятность \( P(z = k) \) для биномиального распределения задается формулой:
\(
P(z = k) = C_{50}^k \cdot p^k \cdot (1 — p)^{50 — k},
\)
где \( C_{50}^k \) — биномиальный коэффициент, равный:
\(
C_{50}^k = \frac{50!}{k! \cdot (50 — k)!}.
\)

Условие \( P(z = k) > P(z = k + 1) \) можно записать следующим образом:
\(
C_{50}^k \cdot p^k \cdot (1 — p)^{50 — k} > C_{50}^{k + 1} \cdot p^{k + 1} \cdot (1 — p)^{49 — k}.
\)

Подставим значения \( p = 0,15 \) и \( 1 — p = 0,85 \):
\(
C_{50}^k \cdot 0,15^k \cdot 0,85^{50 — k} > C_{50}^{k + 1} \cdot 0,15^{k + 1} \cdot 0,85^{49 — k}.
\)

Разложим биномиальные коэффициенты \( C_{50}^k \) и \( C_{50}^{k + 1} \):
\(
C_{50}^k = \frac{50!}{k! \cdot (50 — k)!}, \quad C_{50}^{k + 1} = \frac{50!}{(k + 1)! \cdot (49 — k)!}.
\)

Подставим биномиальные коэффициенты в неравенство:
\(
\frac{50!}{k! \cdot (50 — k)!} \cdot 0,15^k \cdot 0,85^{50 — k} > \frac{50!}{(k + 1)! \cdot (49 — k)!} \cdot 0,15^{k + 1} \cdot 0,85^{49 — k}.
\)

Сократим факториал \( 50! \), а также степени \( 0,85 \) и \( 0,15 \):
\(
\frac{0,85}{0,15} \cdot \frac{50 — k}{k + 1} > 1.
\)

Вычислим отношение \( \frac{0,85}{0,15} \):
\(
\frac{0,85}{0,15} = 5,67.
\)

Таким образом, неравенство принимает вид:
\(
5,67 \cdot \frac{50 — k}{k + 1} > 1.
\)

Раскроем дробь:
\(
5,67 \cdot (50 — k) > k + 1.
\)

Перенесем все слагаемые, содержащие \( k \), в одну сторону:
\(
5,67 \cdot 50 — 5,67 \cdot k > k + 1.
\)

Выполним упрощение:
\(
283,5 — 5,67k > k + 1.
\)

Соберем \( k \):
\(
283,5 — 1 > 5,67k + k.
\)

\(
282,5 > 6,67k.
\)

Найдем \( k \):
\(
k > \frac{282,5}{6,67} \approx 6,65.
\)

Так как \( k \) должно быть целым числом, выбираем \( k = 7 \).

Ответ: 50.