ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В сборную команду России на Международной математической олимпиаде входит 6 человек. На основании выступлений российских школьников на олимпиадах прошлых лет был сделан вывод, что для российского школьника вероятность получить золотую медаль на олимпиаде составляет около 65 %. Оцените вероятность того, что на очередной Международной математической олимпиаде команда России завоюет не менее 5 золотых медалей.

Вероятность получить медаль равна 65%;
Медаль получат не менее 5 человек из 6:

\(
P = P(5) + P(6);
\)
\(
P = C_5^6 \cdot 0,65^5 \cdot 0,35^1 + C_6^6 \cdot 0,65^6 \cdot 0,35^0;
\)
\(
P \approx 6 \cdot 0,1160 \cdot 0,35 + 1 \cdot 0,0754 \cdot 1;
\)
\(
P \approx 0,2436 + 0,0754 \approx 0,319 \approx 32\%;
Ответ: 32%.

Вероятность получить медаль равна 65%. Требуется найти вероятность того, что медаль получат не менее 5 человек из 6.

Используем формулу для вычисления вероятности:
\(
P = P(5) + P(6)
\)

Для вычисления каждой из составляющих используем формулу биномиального распределения:
\(
P(k) = C_k^n \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\)

Где:
— \( n = 6 \) — количество испытаний (человек),
— \( k \) — количество успешных испытаний (в данном случае 5 или 6),
— \( p = 0.65 \) — вероятность успеха,
— \( 1-p = 0.35 \) — вероятность неудачи,
— \( C_k^n \) — биномиальный коэффициент, вычисляемый как:
\(
C_k^n = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
\)

Вычислим отдельно \( P(5) \):
\(
P(5) = C_5^6 \cdot 0.65^5 \cdot 0.35^1
\)
\(
C_5^6 = \frac{6!}{5! \cdot (6-5)!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1!} = 6
\)
\(
P(5) = 6 \cdot 0.65^5 \cdot 0.35
\)
\(
0.65^5 \approx 0.1160
\)
\(
P(5) \approx 6 \cdot 0.1160 \cdot 0.35 = 6 \cdot 0.0406 = 0.2436
\)

Теперь вычислим \( P(6) \):
\(
P(6) = C_6^6 \cdot 0.65^6 \cdot 0.35^0
\)
\(
C_6^6 = \frac{6!}{6! \cdot (6-6)!} = \frac{6!}{6! \cdot 0!} = 1
\)
\(
P(6) = 1 \cdot 0.65^6 \cdot 1
\)
\(
0.65^6 \approx 0.0754
\)
\(
P(6) \approx 1 \cdot 0.0754 \cdot 1 = 0.0754
\)

Теперь сложим найденные вероятности:
\(
P = P(5) + P(6)
\)
\(
P \approx 0.2436 + 0.0754 = 0.319
\)

Окончательный ответ:
\(
P \approx 32\%
\)