ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Гроссмейстер проводит сеанс одновременной игры в шахматы на 40 досках. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет каждую отдельную партию, равна 97 %. Какова вероятность того, что в сеансе гроссмейстер выиграет не менее 38 партий?

Вероятность выиграть одну партию равна 97%;
Вероятность выиграть не менее 38 партий из 40:

\(
P = P(38) + P(39) + P(40);
\)

\(
P = C_{40}^{38} \cdot 0,97^{38} \cdot 0,03^2 + C_{40}^{39} \cdot 0,97^{39} \cdot 0,03^1 + C_{40}^{40} \cdot 0,97^{40};
\)

\(
P \approx \frac{40 \cdot 39}{2} \cdot 0,00028 + 40 \cdot 0,00915 + 1 \cdot 0,29571;
\)

\(
P \approx 0,2184 + 0,366 + 0,29571 \approx 0,88011 \approx 88\%;
\)

Ответ: 88%.

Вероятность выиграть одну партию равна 97%. Требуется найти вероятность выиграть не менее 38 партий из 40.

Для этого используется формула:

\(
P = P(38) + P(39) + P(40),
\)

где \( P(k) \) — вероятность выиграть ровно \( k \) партий.

Каждую вероятность можно вычислить с помощью биномиального распределения:

\(
P(k) = C_{40}^{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{40-k},
\)

где \( C_{40}^{k} \) — число сочетаний, \( p = 0,97 \) — вероятность выигрыша одной партии, \( 1-p = 0,03 \) — вероятность проигрыша одной партии.

Подставим значения для \( P(38) \), \( P(39) \) и \( P(40) \):

\(
P(38) = C_{40}^{38} \cdot 0,97^{38} \cdot 0,03^2,
\)

\(
P(39) = C_{40}^{39} \cdot 0,97^{39} \cdot 0,03^1,
\)

\(
P(40) = C_{40}^{40} \cdot 0,97^{40}.
\)

Теперь вычислим каждую вероятность:

1. Для \( P(38) \):

\(
C_{40}^{38} = \frac{40 \cdot 39}{2}, \quad 0,97^{38} \approx 0,00028, \quad 0,03^2 = 0,0009.
\)

Таким образом,

\(
P(38) \approx \frac{40 \cdot 39}{2} \cdot 0,00028 \cdot 0,0009 \approx 0,2184.
\)

2. Для \( P(39) \):

\(
C_{40}^{39} = 40, \quad 0,97^{39} \approx 0,00915, \quad 0,03^1 = 0,03.
\)

Таким образом,

\(
P(39) \approx 40 \cdot 0,00915 \cdot 0,03 \approx 0,366.
\)

3. Для \( P(40) \):

\(
C_{40}^{40} = 1, \quad 0,97^{40} \approx 0,29571.
\)

Таким образом,

\(
P(40) \approx 1 \cdot 0,29571 \approx 0,29571.
\)

Теперь сложим все вероятности:

\(
P \approx P(38) + P(39) + P(40),
\)

\(
P \approx 0,2184 + 0,366 + 0,29571 \approx 0,88011.
\)

Окончательный ответ:

\(
P \approx 88\%.
\)