ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для рекламы прохладительного напитка производитель решил закрыть крышками со скрытой надписью «приз» 30 000 бутылок из 500 000 выпущенных. Серёжа, который любит этот напиток, планирует за лето выпить 45 бутылок напитка. Какова вероятность того, что Серёжа соберёт не меньше 2 крышек с надписью «приз»? Ответ округлите до десятых процента.

Для рекламы напитка выпустили:
\( N = 500\,000 \) — всего бутылок;
\( M = 30\,000 \) — с надписью «приз».

Не менее 2 из 45 будут с призом:

\(
P(X) = 1 — P(0) — P(1);
\)

\(
P(X) = 1 — C_{45}^0 \cdot \left( \frac{47}{50} \right)^{45} — C_{45}^1 \cdot \left( \frac{3}{50} \right)^1 \cdot \left( \frac{47}{50} \right)^{44};
\)

\(
P(X) = 1 — 1 \cdot 1 \cdot 0,06176 — 45 \cdot 0,06 \cdot 0,06571;
\)

\(
P(X) \approx 1 — 0,06176 — 0,17742 \approx 0,76082 \approx 76,1\%.
\)

Ответ: 76,1%.

(В этом задании считаем события независимыми, так как вероятности отличаются на очень малую величину.)

Для рекламы напитка выпустили:
\( N = 500\,000 \) — всего бутылок;
\( M = 30\,000 \) — с надписью «приз».

Вероятность того, что бутылка окажется с надписью «приз», равна:

\(
p = \frac{M}{N} = \frac{30\,000}{500\,000} = 0,06.
\)

Вероятность того, что бутылка окажется без надписи «приз», равна:

\(
q = 1 — p = 1 — 0,06 = 0,94.
\)

Рассмотрим выборку из \( 45 \) бутылок. Необходимо найти вероятность того, что в этой выборке будет не менее \( 2 \) бутылок с надписью «приз». Для этого используем формулу:

\(
P(X \geq 2) = 1 — P(X = 0) — P(X = 1),
\)

где \( X \) — количество бутылок с надписью «приз» в выборке.

Вычисление \( P(X = 0) \):

Вероятность того, что ни одна из \( 45 \) бутылок не окажется с надписью «приз», равна:

\(
P(X = 0) = C_{45}^0 \cdot p^0 \cdot q^{45}.
\)

Так как \( C_{45}^0 = 1 \) и \( p^0 = 1 \), то:

\(
P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot q^{45} = q^{45}.
\)

Подставляем значение \( q = 0,94 \):

\(
P(X = 0) = 0,94^{45}.
\)

Вычислим \( 0,94^{45} \):

\(
0,94^{45} \approx 0,06176.
\)

Таким образом:

\(
P(X = 0) \approx 0,06176.
\)

Вычисление \( P(X = 1) \):

Вероятность того, что ровно одна из \( 45 \) бутылок окажется с надписью «приз», равна:

\(
P(X = 1) = C_{45}^1 \cdot p^1 \cdot q^{44}.
\)

Так как \( C_{45}^1 = 45 \), то:

\(
P(X = 1) = 45 \cdot p \cdot q^{44}.
\)

Подставляем значения \( p = 0,06 \) и \( q = 0,94 \):

\(
P(X = 1) = 45 \cdot 0,06 \cdot 0,94^{44}.
\)

Вычислим \( 0,94^{44} \):

\(
0,94^{44} \approx 0,06571.
\)

Подставляем:

\(
P(X = 1) = 45 \cdot 0,06 \cdot 0,06571 \approx 0,17742.
\)

Вычисление \( P(X \geq 2) \):

Теперь найдём вероятность того, что в выборке будет не менее \( 2 \) бутылок с надписью «приз»:

\(
P(X \geq 2) = 1 — P(X = 0) — P(X = 1).
\)

Подставляем вычисленные значения:

\(
P(X \geq 2) = 1 — 0,06176 — 0,17742.
\)

Вычисляем:

\(
P(X \geq 2) \approx 1 — 0,06176 — 0,17742 \approx 0,76082.
\)

Переведём вероятность в проценты:

\(
P(X \geq 2) \approx 76,1\%.
\)

Ответ:

\( 76,1\% \).

(В этом задании считаем события независимыми, так как вероятности отличаются на очень малую величину.)