ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \( t \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n = 5 \) и \( p = 0,4 \). Найти наиболее вероятное значение случайной величины \( t \).

Величина \( t \) имеет биноминальное распределение с параметрами: \( n = 5, \, p = 0,4 \);

1) Величина номер \( m \):
\(
P = C_5^m \cdot 0,4^m \cdot 0,6^{5-m};
\)

2) Наиболее вероятная величина:
\(
\frac{C_5^m \cdot 0,4^m \cdot 0,6^{5-m}}{C_5^{m-1} \cdot 0,4^{m-1} \cdot 0,6^{6-m}} > 1;
\)

\(
\frac{0,4 \cdot 5!}{m! \cdot (5-m)!} \cdot \frac{1}{(m-1)! \cdot (6-m)!} > 1;
\)

\(
\frac{6-m}{m} > \frac{3}{2}, \quad 3m < 12 — 2m;
\)

\(
5m < 12, \quad m < 2,4;
\)

Ответ: \( m = 2 \).

Величина \( t \) имеет биноминальное распределение с параметрами: \( n = 5, \, p = 0,4 \).

1) Вероятность величины номер \( m \) вычисляется по формуле:
\(
P = C_5^m \cdot 0,4^m \cdot 0,6^{5-m},
\)
где \( C_5^m \) — число сочетаний, равное:
\(
C_5^m = \frac{5!}{m! \cdot (5-m)!}.
\)

2) Чтобы найти наиболее вероятную величину \( m \), необходимо сравнить вероятность для величины \( m \) и величины \( m-1 \). Для этого необходимо решить неравенство:
\(
\frac{C_5^m \cdot 0,4^m \cdot 0,6^{5-m}}{C_5^{m-1} \cdot 0,4^{m-1} \cdot 0,6^{6-m}} > 1.
\)

Подставим выражение для числа сочетаний \( C_5^m \):
\(
C_5^m = \frac{5!}{m! \cdot (5-m)!}, \quad C_5^{m-1} = \frac{5!}{(m-1)! \cdot (5-(m-1))!}.
\)

Упростим дробь:
\(
\frac{C_5^m \cdot 0,4^m \cdot 0,6^{5-m}}{C_5^{m-1} \cdot 0,4^{m-1} \cdot 0,6^{6-m}} =
\frac{\frac{5!}{m! \cdot (5-m)!} \cdot 0,4^m \cdot 0,6^{5-m}}{\frac{5!}{(m-1)! \cdot (6-m)!} \cdot 0,4^{m-1} \cdot 0,6^{6-m}}.
\)

Сократим \( 5! \):
\(
\frac{0,4^m \cdot 0,6^{5-m}}{0,4^{m-1} \cdot 0,6^{6-m}} \cdot \frac{(m-1)! \cdot (6-m)!}{m! \cdot (5-m)!} > 1.
\)

Переносим степени \( 0,4 \) и \( 0,6 \):
\(
0,4 \cdot \frac{(m-1)! \cdot (6-m)!}{m! \cdot (5-m)!} > 1.
\)

Разложим факториалы:
\(
0,4 \cdot \frac{1}{m} \cdot \frac{6-m}{1} > 1.
\)

Получаем:
\(
\frac{6-m}{m} > \frac{3}{2}.
\)

Решим неравенство:
\(
3m < 12 — 2m.
\)

Переносим \( 2m \):
\(
5m < 12.
\)

Отсюда:
\(
m < 2,4.
\)

Так как \( m \) — целое число, наиболее вероятное значение \( m \):
\(
m = 2.
\)

Ответ: \( m = 2 \).