ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 22.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Игральный кубик подбрасывают 10 раз и при каждом подбрасывании записывают, выпала ли шестёрка. Сколько элементарных исходов этого опыта благоприятствует событию «шестёрка выпала 3 раза из 10»?

Кубик подбрасывают десять раз;
Шестерка выпала 3 раза из десяти:

\(
C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10 — 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!};
\)

\(
C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 7!} = \frac{720}{6} = 120;
\)

\(
N = C_{10}^3 \cdot 5^7 = 9\,375\,000;
\)

Ответ: 9 375 000.

Кубик подбрасывают десять раз. Шестерка выпала 3 раза из десяти.

Для вычисления числа способов выбрать 3 выпадения шестерки из 10 бросков кубика используется формула числа сочетаний:

\(
C_{n}^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
\)

В данном случае \(n = 10\), \(k = 3\). Подставляем значения:

\(
C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10 — 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}
\)

В числителе оставляем только первые три множителя \(10!\), так как остальные сокращаются с \(7!\) в знаменателе:

\(
C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot 7!}
\)

Сокращаем \(7!\) в числителе и знаменателе:

\(
C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!}
\)

Вычисляем \(3! = 3 \cdot 2 = 6\):

\(
C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = \frac{720}{6} = 120
\)

Теперь вычисляем общее количество благоприятных исходов. Вероятность выпадения шестерки в одном броске кубика равна \( \frac{1}{6} \), а вероятность выпадения любого другого числа равна \( \frac{5}{6} \). Поскольку шестерка выпала 3 раза, а другие числа выпали \(10 — 3 = 7\) раз, общее количество исходов можно найти как:

\(
N = C_{10}^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^7
\)

Поскольку задача требует ответа в целых числах, вместо вероятностей используем их числители, то есть \(5^7\):

\(
N = C_{10}^3 \cdot 5^7
\)

Подставляем значения:

\(
N = 120 \cdot 5^7
\)

Вычисляем \(5^7 = 78125\):

\(
N = 120 \cdot 78125 = 9375000
\)

Ответ: 9375000.