ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть а — некоторое число. Известно, что каждое значение случайной величины не меньше а. Может ли её математическое ожидание оказаться меньшим а?

Известно, что каждое из значений случайной величины \(x\) не меньше \(a\):
\(
M(x) = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \ldots + x_np_n;
\)
\(
\quad M(x) \geq ap_1 + ap_2 + ap_3 + \ldots + ap_n;
\)
\(
M(x) \geq a(p_1 + p_2 + p_3 + \ldots + p_n); \quad M(x) \geq a \cdot 1, \quad M(x) \geq a;
\)
Ответ: нет.

Известно, что каждое из значений случайной величины \(x\) не меньше \(a\).

Математическое ожидание случайной величины \(x\) вычисляется по формуле:
\(
M(x) = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \ldots + x_np_n
\)

Поскольку каждое из значений \(x_i\) не меньше \(a\), можно записать:
\(
x_1 \geq a, \quad x_2 \geq a, \quad x_3 \geq a, \quad \ldots, \quad x_n \geq a
\)

Подставляя это в формулу математического ожидания, получаем:
\(
M(x) = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \ldots + x_np_n \geq ap_1 + ap_2 + ap_3 + \ldots + ap_n
\)

Вынесем \(a\) за скобки:
\(
M(x) \geq a(p_1 + p_2 + p_3 + \ldots + p_n)
\)

Сумма вероятностей \(p_1 + p_2 + p_3 + \ldots + p_n\) для всех возможных значений случайной величины равна единице:
\(
p_1 + p_2 + p_3 + \ldots + p_n = 1
\)

Следовательно,
\(
M(x) \geq a \cdot 1
\)

И окончательно:
\(
M(x) \geq a
\)

Ответ: нет