ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть \(x\) — случайная величина, и выполнено условие:
\(
M(x^2) = 0
\)
Требуется найти значение \(
M(x)
\).

О величине \(x\) известно: \(M(x^2) = 0\);

1) Математическое ожидание:
\(
M(x^2) = x_1^2p_1 + x_2^2p_2 + \dots + x_n^2p_n;
\)

2) Для каждого \(k\):
\(
x_k^2 \geq 0, \quad p_k \geq 0;
\)
\(
x_k^2p_k \geq 0, \quad x_k^2p_k = 0;
\)
\(
x_k = 0 \quad \text{или} \quad p_k = 0;
\)

3) Математическое ожидание:
\(
M(x) = x_1p_1 + x_2p_2 + \dots + x_np_n;
\)
\(
M(x) = 0 + 0 + 0 + \dots + 0 = 0;
\)

Ответ: \(0\).

О величине \(x\) известно, что \(M(x^2) = 0\). Это означает, что математическое ожидание квадрата случайной величины равно нулю. Разберем это утверждение подробно.

Шаг 1: Определение математического ожидания
Математическое ожидание случайной величины \(x^2\) определяется как сумма произведений возможных значений \(x_k^2\) на их вероятности \(p_k\):
\(
M(x^2) = x_1^2p_1 + x_2^2p_2 + \dots + x_n^2p_n,
\)
где:
— \(x_1, x_2, \dots, x_n\) — возможные значения случайной величины \(x\),
— \(p_1, p_2, \dots, p_n\) — соответствующие вероятности этих значений (\(p_k \geq 0\) и \(\sum_{k=1}^n p_k = 1\)).

Поскольку нам известно, что \(M(x^2) = 0\), то:
\(
x_1^2p_1 + x_2^2p_2 + \dots + x_n^2p_n = 0.
\)

Шаг 2: Свойства квадрата и вероятности
Квадрат любого числа \(x_k^2\) всегда неотрицателен:
\(
x_k^2 \geq 0.
\)
Также вероятность \(p_k\) всегда неотрицательна:
\(
p_k \geq 0.
\)
Следовательно, произведение \(x_k^2p_k\) также неотрицательно:
\(
x_k^2p_k \geq 0.
\)

Теперь рассмотрим, что означает равенство \(M(x^2) = 0\):
\(
x_1^2p_1 + x_2^2p_2 + \dots + x_n^2p_n = 0.
\)
Поскольку каждое слагаемое \(x_k^2p_k \geq 0\), то единственный способ, чтобы сумма равнялась нулю, заключается в том, что каждое слагаемое равно нулю:
\(
x_k^2p_k = 0 \quad \text{для всех } k.
\)

Шаг 3: Условия для \(x_k^2p_k = 0\)
Произведение \(x_k^2p_k = 0\) возможно в двух случаях:
1. \(x_k^2 = 0\), то есть \(x_k = 0\),
2. \(p_k = 0\), то есть значение \(x_k\) имеет нулевую вероятность.

Таким образом, если вероятность \(p_k > 0\), то обязательно \(x_k = 0\). Иными словами, все значения \(x_k\), которые имеют ненулевую вероятность, равны нулю.

Шаг 4: Математическое ожидание величины \(x\)
Теперь вычислим математическое ожидание случайной величины \(x\), которое определяется как:
\(
M(x) = x_1p_1 + x_2p_2 + \dots + x_np_n.
\)
Из предыдущего шага мы знаем, что если \(p_k > 0\), то \(x_k = 0\). Следовательно, каждое слагаемое в сумме равно нулю:
\(
x_1p_1 = 0, \quad x_2p_2 = 0, \quad \dots, \quad x_np_n = 0.
\)
Таким образом:
\(
M(x) = 0 + 0 + 0 + \dots + 0 = 0.
\)

Вывод
Мы доказали, что если \(M(x^2) = 0\), то математическое ожидание случайной величины \(x\) также равно нулю:
\(
M(x) = 0.
\)