ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \(x\) равна количеству препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку.

Известно:
\(
x \in \{0, 1, \dots, 6\}, \quad P(x = k) = a(6k — k^2), \quad \forall k \in \{0, 1, \dots, 6\}.
\)

Требуется найти математическое ожидание и стандартное отклонение количества препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку.

О величине \(x\) известно:
\(x = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}; \quad P(x = k) = a(6k — k^2);\)

1) Вероятности значений:
\(P(0) = a(6 \cdot 0 — 0^2) = 0;\)
\(P(1) = a(6 \cdot 1 — 1^2) = 5a;\)
\(P(2) = a(6 \cdot 2 — 2^2) = 8a;\)
\(P(3) = a(6 \cdot 3 — 3^2) = 9a;\)
\(P(4) = a(6 \cdot 4 — 4^2) = 8a;\)
\(P(5) = a(6 \cdot 5 — 5^2) = 5a;\)
\(P(6) = a(6 \cdot 6 — 6^2) = 0;\)

2) Значение параметра:
\(5a + 8a + 9a + 8a + 5a = 1;\)
\(35a = 1, \quad a = \frac{1}{35}.\)

3) Математическое ожидание:
\(M(x) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 5a + 2 \cdot 8a + 3 \cdot 9a + 4 \cdot 8a + 5 \cdot 5a + 6 \cdot 0;\)
\(M(x) = 5a + 16a + 27a + 32a + 25a = 105a = \frac{105}{35} = 3;\)

4) Стандартное отклонение:
\(
D(x) = 9 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{25}{35} + 1 \cdot \frac{8}{35} + 0 \cdot \frac{35}{35} + 1 \cdot \frac{20}{35} + 4 \cdot \frac{56}{35} + 9 \cdot 0;
\)
\(
D(x) = 0 + \frac{20}{35} + \frac{8}{35} + 0 + \frac{20}{35} + \frac{56}{35} = \frac{104}{35} = \frac{16}{10};
\)
\(
\sigma(x) = \sqrt{D(x)} = \sqrt{\frac{16}{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}.
\)

Ответ:
\(M(x) = 3;\)
\(\sigma(x) = \frac{4}{\sqrt{10}}.\)

О величине \(x\) известно:
\(
x = (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6), \quad P(x = k) = a(6k — k^2).
\)

1) Вероятности значений:
Рассчитаем вероятности для каждого значения \(x\):

\(
P(0) = a(6 \cdot 0 — 0^2) = 0,
\)
\(
P(1) = a(6 \cdot 1 — 1^2) = 5a,
\)
\(
P(2) = a(6 \cdot 2 — 2^2) = 8a,
\)
\(
P(3) = a(6 \cdot 3 — 3^2) = 9a,
\)
\(
P(4) = a(6 \cdot 4 — 4^2) = 8a,
\)
\(
P(5) = a(6 \cdot 5 — 5^2) = 5a,
\)
\(
P(6) = a(6 \cdot 6 — 6^2) = 0.
\)

2) Значение параметра:
Сумма всех вероятностей должна быть равна единице:
\(
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1.
\)
Подставим значения:
\(
0 + 5a + 8a + 9a + 8a + 5a + 0 = 1.
\)
Сложим коэффициенты перед \(a\):
\(
35a = 1.
\)
Найдем \(a\):
\(
a = \frac{1}{35}.
\)

3) Математическое ожидание:
Формула для математического ожидания:
\(
M(x) = \sum_{k=0}^{6} k \cdot P(k).
\)
Подставим значения вероятностей:
\(
M(x) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 5a + 2 \cdot 8a + 3 \cdot 9a + 4 \cdot 8a + 5 \cdot 5a + 6 \cdot 0.
\)
Выполним вычисления:
\(
M(x) = 5a + 16a + 27a + 32a + 25a.
\)
Сложим коэффициенты перед \(a\):
\(
M(x) = 105a.
\)
Подставим значение \(a = \frac{1}{35}\):
\(
M(x) = 105 \cdot \frac{1}{35} = 3.
\)

4) Стандартное отклонение:
Формула для дисперсии:
\(
D(x) = \sum_{k=0}^{6} (k — M(x))^2 \cdot P(k).
\)
Так как математическое ожидание \(M(x) = 3\), то:
\(
D(x) = \sum_{k=0}^{6} (k — 3)^2 \cdot P(k).
\)
Рассчитаем каждое слагаемое отдельно:

\(
(0 — 3)^2 \cdot P(0) = 9 \cdot 0 = 0,
\)
\(
(1 — 3)^2 \cdot P(1) = 4 \cdot \frac{5}{35} = \frac{20}{35},
\)
\(
(2 — 3)^2 \cdot P(2) = 1 \cdot \frac{8}{35} = \frac{8}{35},
\)
\(
(3 — 3)^2 \cdot P(3) = 0 \cdot \frac{9}{35} = 0,
\)
\(
(4 — 3)^2 \cdot P(4) = 1 \cdot \frac{8}{35} = \frac{8}{35},
\)
\(
(5 — 3)^2 \cdot P(5) = 4 \cdot \frac{5}{35} = \frac{20}{35},
\)
\(
(6 — 3)^2 \cdot P(6) = 9 \cdot 0 = 0.
\)

Сложим все слагаемые:
\(
D(x) = 0 + \frac{20}{35} + \frac{8}{35} + 0 + \frac{8}{35} + \frac{20}{35} + 0.
\)
\(
D(x) = \frac{56}{35}.
\)
Упростим дробь:
\(
D(x) = \frac{16}{10}.
\)

Стандартное отклонение:
\(
\sigma(x) = \sqrt{D(x)} = \sqrt{\frac{16}{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}.
\)

Ответ:
\(
M(x) = 3,
\)
\(
\sigma(x) = \frac{4}{\sqrt{10}}.
\)