ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

О случайной величине \( X \) известно, что \( \mathbb{E}[X] = -2 \), \( \mathrm{D}[X] = 1 \). Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

1. \( X + 1 \)

2. \( -4X \)

3. \( 2X — 3 \)

4. \( \frac{5 — 2X}{3} \)

О величине \(x\) известно: \(M(x) = -2\), \(\sigma(x) = 1\);

1) \(y = x + 1\):
\(
M(y) = M(x) + 1 = -1;
\)
\(
D(x) = \sigma^2(x) = 1;
\)
\(
D(y) = D(x) = 1;
\)

2) \(y = -4x\):
\(
M(y) = -4M(x) = 8;
\)
\(
D(x) = \sigma^2(x) = 1;
\)
\(
D(y) = (-4)^2D(x) = 16;
\)

3) \(y = 2x — 3\):
\(
M(y) = 2M(x) — 3 = -7;
\)
\(
D(x) = \sigma^2(x) = 1;
\)
\(
D(y) = 2^2D(x) = 4;
\)

4) \(y = \frac{5 — 2x}{3}\):
\(
M(y) = \frac{2}{3}M(x) + \frac{5}{3} = 3;
\)
\(
D(x) = \sigma^2(x) = 1;
\)
\(
D(y) = \left(-\frac{2}{3}\right)^2D(x) = \frac{4}{9};
\)

О величине \(x\) известно: \(M(x) = -2\), \(\sigma(x) = 1\).

1. Рассмотрим случай \(y = x + 1\):
Математическое ожидание \(M(y)\) вычисляется по формуле:
\(
M(y) = M(x) + 1
\)
Подставляем значение \(M(x) = -2\):
\(
M(y) = -2 + 1 = -1
\)
Дисперсия \(D(x)\) связана со стандартным отклонением \(\sigma(x)\) следующим образом:
\(
D(x) = \sigma^2(x)
\)
Подставляем \(\sigma(x) = 1\):
\(
D(x) = 1
\)
Так как \(y = x + 1\), линейное преобразование не изменяет дисперсию:
\(
D(y) = D(x) = 1
\)

2. Рассмотрим случай \(y = -4x\):
Математическое ожидание \(M(y)\) вычисляется по формуле:
\(
M(y) = -4M(x)
\)
Подставляем значение \(M(x) = -2\):
\(
M(y) = -4 \cdot (-2) = 8
\)
Дисперсия \(D(y)\) при умножении на константу изменяется следующим образом:
\(
D(y) = (-4)^2D(x)
\)
Подставляем \(D(x) = 1\):
\(
D(y) = 16 \cdot 1 = 16
\)

3. Рассмотрим случай \(y = 2x — 3\):
Математическое ожидание \(M(y)\) вычисляется по формуле:
\(
M(y) = 2M(x) — 3
\)
Подставляем значение \(M(x) = -2\):
\(
M(y) = 2 \cdot (-2) — 3 = -7
\)
Дисперсия \(D(y)\) при умножении на константу изменяется следующим образом:
\(
D(y) = 2^2D(x)
\)
Подставляем \(D(x) = 1\):
\(
D(y) = 4 \cdot 1 = 4
\)

4. Рассмотрим случай \(y = \frac{5 — 2x}{3}\):
Математическое ожидание \(M(y)\) вычисляется по формуле:
\(
M(y) = \frac{-2}{3}M(x) + \frac{5}{3}
\)
Подставляем значение \(M(x) = -2\):
\(
M(y) = \frac{-2}{3} \cdot (-2) + \frac{5}{3} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = 3
\)
Дисперсия \(D(y)\) при умножении на константу изменяется следующим образом:
\(
D(y) = \left(-\frac{2}{3}\right)^2D(x)
\)
Подставляем \(D(x) = 1\):
\(
D(y) = \frac{4}{9} \cdot 1 = \frac{4}{9}
\)