ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чему равно математическое ожидание и дисперсия количества выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков?

Подбрасывают три кубика:
\( p = \frac{1}{6}, \, q = \frac{5}{6}, \, n = 4 \);

1) Вероятности событий:
\( P(0) = C_3^0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}; \)
\( P(1) = C_3^1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^2 = \frac{75}{216}; \)
\( P(2) = C_3^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^1 = \frac{15}{216}; \)
\( P(3) = C_3^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^0 = \frac{1}{216}. \)

2) Математическое ожидание:
\( M(x) = 0 \cdot \frac{125}{216} + 1 \cdot \frac{75}{216} + 2 \cdot \frac{15}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216}; \)
\( M(x) = \frac{0 + 75 + 30 + 3}{216} = \frac{108}{216} = \frac{1}{2} = 0,5. \)

3) Дисперсия значений:
\( D(x) = 0,25 \cdot \frac{125}{216} + 0,25 \cdot \frac{75}{216} + 2,25 \cdot \frac{15}{216} + 6,25 \cdot \frac{1}{216}; \)
\( D(x) = \frac{31,25 + 18,75 + 33,75 + 6,25}{216} = \frac{90}{216} = \frac{5}{12}. \)

Ответ:
Математическое ожидание: \( 0,5 \);
Дисперсия: \( \frac{5}{12} \).

Подбрасывают три кубика:
\( p = \frac{1}{6}, \, q = \frac{5}{6}, \, n = 4 \).

1) Вероятности событий:
\(
P(0) = C_3^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{125}{216} = \frac{125}{216};
\)
\(
P(1) = C_3^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216};
\)
\(
P(2) = C_3^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216};
\)
\(
P(3) = C_3^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{216} \cdot 1 = \frac{1}{216}.
\)

2) Математическое ожидание:
Формула для математического ожидания:
\(
M(x) = \sum_{i=0}^{n} i \cdot P(i).
\)
Для данного случая:
\(
M(x) = 0 \cdot P(0) + 1 \cdot P(1) + 2 \cdot P(2) + 3 \cdot P(3);
\)
\(
M(x) = 0 \cdot \frac{125}{216} + 1 \cdot \frac{75}{216} + 2 \cdot \frac{15}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216};
\)
\(
M(x) = \frac{0 + 75 + 30 + 3}{216} = \frac{108}{216} = \frac{1}{2} = 0.5.
\)

3) Дисперсия значений:
Формула для дисперсии:
\(
D(x) = \sum_{i=0}^{n} i^2 \cdot P(i) — M(x)^2.
\)
Сначала вычислим сумму \( \sum_{i=0}^{n} i^2 \cdot P(i) \):
\(
D(x) = 0^2 \cdot P(0) + 1^2 \cdot P(1) + 2^2 \cdot P(2) + 3^2 \cdot P(3);
\)
\(
D(x) = 0 \cdot \frac{125}{216} + 1 \cdot \frac{75}{216} + 4 \cdot \frac{15}{216} + 9 \cdot \frac{1}{216};
\)
\(
D(x) = \frac{0 + 75 + 60 + 9}{216} = \frac{144}{216}.
\)
Теперь вычтем квадрат математического ожидания:
\(
D(x) = \frac{144}{216} — \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{144}{216} — \frac{1}{4} = \frac{144}{216} — \frac{54}{216} = \frac{90}{216} = \frac{5}{12}.
\)

Ответ:
Математическое ожидание: \( 0.5 \).
Дисперсия: \( \frac{5}{12} \).