ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чему равно математическое ожидание и стандартное отклонение количества выпавших гербов при подбрасывании пяти монет?

Подбрасывают пять монет:
\( p = \frac{1}{2}, \, q = \frac{1}{2}, \, n = 6 \).

1) Вероятности событий:
\(
P(0) = C_5^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32};
\)
\(
P(1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} = \frac{5}{32};
\)
\(
P(2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{10}{32};
\)
\(
P(3) = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{32};
\)
\(
P(4) = C_5^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{32};
\)
\(
P(5) = C_5^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{32} \cdot 1 = \frac{1}{32}.
\)

2) Математическое ожидание:
\(
M(x) = \sum_{i=0}^{n} i \cdot P(i).
\)
Для данного случая:
\(
M(x) = 0 \cdot P(0) + 1 \cdot P(1) + 2 \cdot P(2) + 3 \cdot P(3) + 4 \cdot P(4) + 5 \cdot P(5);
\)
\(
M(x) = 0 \cdot \frac{1}{32} + 1 \cdot \frac{5}{32} + 2 \cdot \frac{10}{32} + 3 \cdot \frac{10}{32} + 4 \cdot \frac{5}{32} + 5 \cdot \frac{1}{32};
\)
\(
M(x) = \frac{0 + 5 + 20 + 30 + 20 + 5}{32} = \frac{80}{32} = 2.5.
\)

3) Стандартное отклонение:
Сначала вычислим дисперсию:
\(
D(x) = \sum_{i=0}^{n} i^2 \cdot P(i) — M(x)^2.
\)
\(
D(x) = 0^2 \cdot P(0) + 1^2 \cdot P(1) + 2^2 \cdot P(2) + 3^2 \cdot P(3) + 4^2 \cdot P(4) + 5^2 \cdot P(5);
\)
\(
D(x) = 0 \cdot \frac{1}{32} + 1 \cdot \frac{5}{32} + 4 \cdot \frac{10}{32} + 9 \cdot \frac{10}{32} + 16 \cdot \frac{5}{32} + 25 \cdot \frac{1}{32};
\)
\(
D(x) = \frac{0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25}{32} = \frac{240}{32} — M(x)^2.
\)
\(
M(x)^2 = (2.5)^2 = 6.25.
\)
\(
D(x) = \frac{240}{32} — 6.25 = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}.
\)

Теперь стандартное отклонение:
\(
\sigma(x) = \sqrt{D(x)} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.
\)

Ответ:
Математическое ожидание: \( 2.5 \).
Стандартное отклонение: \( \frac{\sqrt{5}}{2} \).

Дано:
Количество подбрасываний монеты (n) = 5, вероятность выпадения орла (p) = \(\frac{1}{2}\), вероятность выпадения решки (q) = \(\frac{1}{2}\).

1) Вероятности событий

Рассмотрим случайное событие \(X = k\) — выпадение ровно \(k\) орлов из 5 подбрасываний.

Вероятность такого события вычисляется по формуле биномиального распределения:
\(
P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k},
\)
где
\(
C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}
\)
— биномиальный коэффициент.

Для каждого \(k\) от 0 до 5 вычислим вероятность:

— \(k = 0\):
\(
P(0) = C_5^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}.
\)

— \(k = 1\):
\(
P(1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} = \frac{5}{32}.
\)

— \(k = 2\):
\(
P(2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{10}{32}.
\)

— \(k = 3\):
\(
P(3) = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{32}.
\)

— \(k = 4\):
\(
P(4) = C_5^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{32}.
\)

— \(k = 5\):
\(
P(5) = C_5^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{32} \cdot 1 = \frac{1}{32}.
\)

2) Математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины \(X\) — это среднее значение, которое можно ожидать при большом числе опытов. Формула:
\(
M(X) = \sum_{k=0}^n k \cdot P(k).
\)

Подставим наши значения:
\(
M(X) = 0 \cdot P(0) + 1 \cdot P(1) + 2 \cdot P(2) + 3 \cdot P(3) + 4 \cdot P(4) + 5 \cdot P(5).
\)

Подставляя вероятности:
\(
M(X) = 0 \cdot \frac{1}{32} + 1 \cdot \frac{5}{32} + 2 \cdot \frac{10}{32} + 3 \cdot \frac{10}{32} + 4 \cdot \frac{5}{32} + 5 \cdot \frac{1}{32}.
\)

Выполним умножения:
\(
M(X) = \frac{0 + 5 + 20 + 30 + 20 + 5}{32} = \frac{80}{32} = 2.5.
\)

3) Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия \(D(X)\) показывает, насколько сильно разбросаны значения случайной величины относительно её математического ожидания. Формула:
\(
D(X) = \sum_{k=0}^n k^2 \cdot P(k) — (M(X))^2.
\)

Сначала вычислим сумму квадратов, умноженных на вероятности:
\(
\sum_{k=0}^n k^2 \cdot P(k) = 0^2 \cdot P(0) + 1^2 \cdot P(1) + 2^2 \cdot P(2) +
\)
\(
+ 3^2 \cdot P(3) + 4^2 \cdot P(4) + 5^2 \cdot P(5).
\)

Подставим вероятности:
\(
= 0 \cdot \frac{1}{32} + 1 \cdot \frac{5}{32} + 4 \cdot \frac{10}{32} + 9 \cdot \frac{10}{32} + 16 \cdot \frac{5}{32} + 25 \cdot \frac{1}{32}.
\)

Выполним умножения:
\(
= \frac{0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25}{32} = \frac{240}{32} = 7.5.
\)

Теперь вычислим дисперсию:
\(
D(X) = 7.5 — (2.5)^2 = 7.5 — 6.25 = 1.25.
\)

Стандартное отклонение — это корень квадратный из дисперсии:
\(
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.
\)

Итог:

— Математическое ожидание:
\(
M(X) = 2.5.
\)

— Стандартное отклонение:
\(
\sigma(X) = \frac{\sqrt{5}}{2}.
\)

Если нужны дополнительные пояснения, обращайтесь!