ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Российский школьник Андрей и его американский друг Джон из Бостона увлекаются метеорологией. В своём письме Джон сообщает, что температура в Бостоне является случайной величиной \( T_F \) с математическим ожиданием \( \mathbb{E}[T_F] = 50 \, \text{°F} \) и стандартным отклонением \( \sigma_{T_F} = 9 \, \text{°F} \). Андрей знает, что перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия можно по формуле:

\(
T_C = \frac{5}{9}(T_F — 32).
\)

Требуется найти математическое ожидание \( \mathbb{E}[T_C] \) и стандартное отклонение \( \sigma_{T_C} \) температуры в Бостоне, измеренной по шкале Цельсия.

О величине \(x\) известно:
\(M(t_F) = 50 \, \text{°F}, \quad \sigma(t_F) = 9 \, \text{°F}; \quad t_C = \frac{5}{9}(t_F — 32);\)

1) Математическое ожидание:
\(
M(t_C) = \frac{5}{9}(M(t_F) — 32) = \frac{5}{9}(50 — 32).
\)
\(
M(t_C) = \frac{5}{9} \cdot 18 = 5 \cdot 2 = 10 \, \text{°C}.
\)

2) Стандартное отклонение:
\(
D(t_F) = \sigma^2(t_F) = 9^2 = 81;
\)
\(
D(t_C) = \left(\frac{5}{9}\right)^2 D(t_F) = \frac{25}{81} \cdot 81 = 25;
\)
\(
\sigma(t_C) = \sqrt{D(t_C)} = \sqrt{25} = 5 \, \text{°C}.
\)

Ответ:
\(10 \, \text{°C}; \, 5 \, \text{°C}.\)

О величине \(x\) известно:
\(M(t_F) = 50 \, \text{°F}, \quad \sigma(t_F) = 9 \, \text{°F}; \quad t_C = \frac{5}{9}(t_F — 32);\)

1) Математическое ожидание:

Математическое ожидание температуры в градусах Цельсия \(M(t_C)\) вычисляется через математическое ожидание температуры в градусах Фаренгейта \(M(t_F)\) по формуле:

\(
M(t_C) = \frac{5}{9}(M(t_F) — 32)
\)

Подставим значение \(M(t_F) = 50 \, \text{°F}\):

\(
M(t_C) = \frac{5}{9}(50 — 32)
\)

Выполним вычисления:

\(
M(t_C) = \frac{5}{9} \cdot 18
\)

\(
M(t_C) = 10 \, \text{°C}
\)

Таким образом, математическое ожидание температуры в градусах Цельсия равно \(10 \, \text{°C}\).

2) Стандартное отклонение:

Стандартное отклонение температуры в градусах Цельсия \(\sigma(t_C)\) связано с стандартным отклонением температуры в градусах Фаренгейта \(\sigma(t_F)\). Сначала найдем дисперсию температуры в градусах Фаренгейта \(D(t_F)\):

\(
D(t_F) = \sigma^2(t_F)
\)

Подставим значение \(\sigma(t_F) = 9 \, \text{°F}\):

\(
D(t_F) = 9^2 = 81
\)

Теперь дисперсия температуры в градусах Цельсия \(D(t_C)\) вычисляется по формуле:

\(
D(t_C) = \left(\frac{5}{9}\right)^2 D(t_F)
\)

Подставим значения:

\(
D(t_C) = \frac{25}{81} \cdot 81
\)

Выполним вычисления:

\(
D(t_C) = 25
\)

Стандартное отклонение температуры в градусах Цельсия равно квадратному корню из дисперсии:

\(
\sigma(t_C) = \sqrt{D(t_C)}
\)

\(
\sigma(t_C) = \sqrt{25} = 5 \, \text{°C}
\)

Таким образом, стандартное отклонение температуры в градусах Цельсия равно \(5 \, \text{°C}\).

Ответ:

Математическое ожидание: \(10 \, \text{°C}\)
Стандартное отклонение: \(5 \, \text{°C}\)