ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпадающих при подбрасывании игрального кубика.

Один раз подбрасывают игральный кубик:

1) Распределение величины \(x\):
\(
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6};
\)

2) Математическое ожидание:
\(
M(x) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6};
\)
\(
M(x) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5;
\)

3) Дисперсия значений:
\(
D(x) = \frac{1}{6} \cdot ((1 — 3.5)^2 + (2 — 3.5)^2 + (3 — 3.5)^2 + (4 — 3.5)^2 + (5 — 3.5)^2 +
\)
\(
+ (6 — 3.5)^2);
\)
\(
D(x) = \frac{1}{6} \cdot (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25);
\)
\(
D(x) = \frac{17.5}{6} = \frac{35}{12} = 2 \frac{11}{12};
\)

Ответ:
\(
M(x) = 3.5; \quad D(x) = 2 \frac{11}{12}.
\)

Один раз подбрасывают игральный кубик:

1) Распределение величины \(x\):
\(
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6};
\)

2) Математическое ожидание:
\(
M(x) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6};
\)
Каждое слагаемое вычисляется следующим образом:
\(
1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}, \quad 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6}, \quad 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6}, \quad 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6}, \quad 5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6}, \quad 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{6};
\)
Суммируем все слагаемые:
\(
M(x) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5;
\)

3) Дисперсия значений:
Дисперсия определяется как:
\(
D(x) = \frac{1}{6} \cdot ((1 — 3.5)^2 + (2 — 3.5)^2 + (3 — 3.5)^2 + (4 — 3.5)^2 + (5 — 3.5)^2 +
\)
\(
+ (6 — 3.5)^2);
\)
Вычисляем каждое отклонение и его квадрат:
\(
(1 — 3.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25,
\)
\(
\quad (2 — 3.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25,
\)
\(
\quad (3 — 3.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25,
\)
\(
(4 — 3.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25,
\)
\(
\quad (5 — 3.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25,
\)
\(
\quad (6 — 3.5)^2 = (2.5)^2 = 6.25;
\)
Суммируем квадраты отклонений:
\(
6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5;
\)
Теперь вычисляем дисперсию:
\(
D(x) = \frac{1}{6} \cdot 17.5 = \frac{17.5}{6} = \frac{35}{12} = 2 \frac{11}{12};
\)

Ответ:
\(
M(x) = 3.5; \quad D(x) = 2 \frac{11}{12}.
\)