ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 23.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть случайная величина \(x\) имеет распределение Бернулли с параметром \(p\). Докажите, что:
\(
M(x) = p, \quad D(x) = p(1-p).
\)

Пусть данная случайная величина \(x\) имеет распределение Бернулли с параметром \(p\):

1) Распределение величины \(x\):
\(P(0) = 1 — p, \quad P(1) = p;\)

2) Математическое ожидание:
\(
M(x) = 0 \cdot (1 — p) + 1 \cdot p = p;
\)

3) Дисперсия значений:
\(
D(x) = (0 — p)^2 \cdot (1 — p) + (1 — p)^2 \cdot p;
\)
\(
D(x) = p^2 \cdot (1 — p) + (1 — p)^2 \cdot p;
\)
\(
D(x) = p \cdot (1 — p) \cdot (p + 1 — p) = p \cdot (1 — p);
\)

Что и требовалось доказать.

Пусть данная случайная величина \(x\) имеет распределение Бернулли с параметром \(p\).

1) Распределение величины \(x\):
\(
P(0) = 1 — p, \quad P(1) = p
\)

2) Математическое ожидание:
Математическое ожидание случайной величины \(x\) вычисляется по формуле:
\(
M(x) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i)
\)
Для распределения Бернулли:
\(
M(x) = 0 \cdot (1 — p) + 1 \cdot p = p
\)

3) Дисперсия значений:
Дисперсия случайной величины \(x\) вычисляется по формуле:
\(
D(x) = \sum_{i} (x_i — M(x))^2 \cdot P(x_i)
\)
Подставим значения из распределения Бернулли:
\(
D(x) = (0 — p)^2 \cdot (1 — p) + (1 — p)^2 \cdot p
\)
Раскроем скобки:
\(
D(x) = p^2 \cdot (1 — p) + (1 — p)^2 \cdot p
\)
Вынесем общий множитель \(p \cdot (1 — p)\):
\(
D(x) = p \cdot (1 — p) \cdot (p + 1 — p)
\)
Упростим выражение:
\(
D(x) = p \cdot (1 — p)
\)

Таким образом, дисперсия случайной величины \(x\) равна \(p \cdot (1 — p)\).

Что и требовалось доказать.